31. Признаки гетероскедастичности и ее диагностирование.

Гетероскедастичность — состояние, при котором измерения вариативности являются большими, чем ожидаемые случайно. понятие, используемое в эконометрике, означающее неоднородность наблюдений, выражающаяся в неодинаковой (непостоянной) дисперсии случайной ошибки регрессионной (эконометрической) модели. Гетероскедастичность противоположна понятию гомоскедастичность, которое означает однородность наблюдений, то есть постоянство дисперсии случайных ошибок модели. Наличие гетероскедастичности случайных ошибок приводит к неэффективности оценок, полученных с помощью метода наименьших квадратов. Кроме того, в этом случае оказывается смещённойи несостоятельной классическая оценка ковариационной матрицы МНК-оценок параметров. Следовательно статистические выводы о качестве полученных оценок могут быть неадекватными. В связи с этим тестирование моделей на гетероскедастичность является одной из необходимых процедур при построении регрессионных моделей.

Определение гетероскедастичности

При малом объеме выборки, что характерно для большинства задач эконометрики, для оценки гетероскедастичости используют метод Гольдфельда — Квандта, который был разботан в 1965 г. Гольдфельдом и Квандтом, где они рассмотрели однофакторную линейную модель, для которой дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности, они предложили выполнить следующие операции.

1. Упорядочить наблюдения по мере возрастания фактора Х.

2. Исключить из рассмотрения С центральных наблюдений, причем (n — С): 2 > р, где р — число оцениваемых параметров.

3. Разделить совокупность из (n — С) наблюдений на две группы (с малыми и большими значениями фактора X).

4. Определить остаточную сумму квадратов для первой (S1) и второй (S2) групп и нахождение отношения: R = S1 : S2.

При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять критерию Фишера с (n — С — 2p) : 2 степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табличное значение F-критерия, тем в большей степени нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

32. Оценивание коэффициентов множественной линейной регрессии в условиях гетероскедастичности. Обобщенный метод наименьших квадратов.

Обобщенный метод наименьших квадратов.

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется заменять традиционный метод наименьших квадратов (OLS) обобщенным методом (GLS).

Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получить оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.

Предположим, что среднее значение остатков равно нулю, а дисперсия их пропорциональна величине , т.е.

, где - дисперсия ошибки при конкретном i-м значении фактора; - постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков; - коэффициент пропорциональности.

При этом предполагается, что неизвестна, а в отношении величины K выдвигается гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

В общем виде для уравнения y = a + b  x +  модель примет вид:

В данной модели остаточные величины гетероскедастичны. Предположив в них отсутствие автокорреляции, перейдем к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i-го наблюдения, на . Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, т.е. = . Иными словами, от регрессии y по x мы перейдем к регрессии на новых переменных: .

Дальнейшее преобразование уравнения регрессии и затем системы нормальных уравнений, то получим коэффициент регрессии:

.

При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэффициент регрессии b определяется по формуле

Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному методу наименьших квадратов 1/K.