33. Автокорреляция. Причины автокорреляции.

Природа автокорреляции кроется в нарушении одного из условий Кобба-Дугласа: Наблюдаемые значения случайного члена не коррелированны друг с другом ( ).

Виды автокорреляции:

1. Чистая автокорреляция – вызывается зависимостью случайного члена от прошлых значений:

• Автокорреляция первого порядка ( , где  - случайный член рассматриваемого уравнения регрессии;  - коэффициент автокорреляции первого порядка; u – случайный член, не подверженный автокорреляции)

• Автокорреляция второго порядка ( )

• Автокорреляция высших порядков

2. Ложная автокорреляция – вызывается неправильной спецификацией модели

Последствия автокорреляции:

1. истинная автокорреляция не приводит к смещению оценок коэффициентов регрессии;

2. положительная автокорреляция (наиболее важный для экономики случай) приводит к увеличению дисперсии оценки коэффициентов;

3. автокорреляция вызывает снижение оценок стандартных ошибок коэффициентов.

34. Влияние автокорреляции на свойства оценок мнк.

Если оценивать параметры уравнения, не принимая во внимание автокорреляцию в остатках, и следовательно оценивать параметры a и b обычным методом МНК, то полученные оценки будут неэффективны. Т.к. они не буд4ут иметь минимальную дисперсию. Это приводит к увеличению стандартных ошибок, снижению фактических значений t-критерия и широким доверительным интервалам для коэффициента регрессии. На основе таких результатов можно сделать ошибочный вывод о незначимом влиянии исследуемого фактора на результат, в то время как на самом деле его влияние статистически значимо.

Отметим, что при соблюдении прочих предпосылок МНК автокорреляция остатков не влияет на свойства состоятельности и несмещенности оценок параметров уравнения регрессии обычным МНК, за исключением моделей авторегрессии.

Итак, если остатки по исходному уравнению содержат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК. Для его реализации следует выполнять следующие условия:

1) преобразовать исходные переменные y1 и x1 к виду:

2) Применив обычный МНК к уравнению (6), определить оценки параметров a и b

3) Рассчитать параметр a исходного уравнения как

4) Выписать исходное уравнение

Основная проблема, связанная с применением данного метода, заключается в том, как получить оценку . Существует множество способов оценить численное значение коэффициента автокорреляции остатков первого порядка. Однако основными способами являются оценка этого коэффициента непосредственно по остаткам, полученным по исходному уравнению регрессии, и получение его приближенного значения из соотношения между коэффициентом автокорреляции первого порядка и критерием Дарбина-Уотсона:

35. Тест серий. Статистика Дарбина – Уотсона.

Начнем с частного случая, в котором автокорреляция подчиняется авторег­рессионной схеме первого порядка:

.

Это означает, что величина случайного члена в любом наблюдении равна его значению в предшествующем наблюдении (т. е. его значению в период t — 1), умноженному на ρ, плюс новый e_t,. Данная схема оказывается авторегрес­сионной, поскольку e определяется значениями этой же самой величины с запаздыванием, и схемой первого порядка. В этом простом случае максимальное запаздывание равно единице. Предполагается, что значение e в каждом наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если ρ положительно, то автокорреляция положительная; если ρ отрицатель­но, то автокорреляция отрицательная. Если ρ = 0, то автокорреляции нет и третье условие Гаусса—Маркова удовлетворяется.

Широко известная статистика Дарбина—Уотсона (d илиDW) определяется следу­ющим образом:

Можно показать, что в больших выборках

d→2-2ρ

Если автокорреляция отсутствует, то ρ= 0, и поэтому величина d должна быть близкой к двум. При наличии положительной автокорреляции величина d, вооб­ще говоря, будет меньше двух; при отрицательной автокорреляции она, вообще говоря, будет превышать 2. Так как ρ должно находиться между значениями 1 и — 1, то d должно лежать между 0 и 4.

Критическое значение d при любом данном уровне значимости зависит, как можно предполагать, от числа объясняющих переменных в уравнении регрес­сии и от количества наблюдений в выборке. К сожалению, оно также зависит от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Поэто­му невозможно составить таблицу с указанием точных критических значений для всех возможных выборок, как это можно сделать для t- и F-статистик; но можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения d. Для положительной автокорреляции они обычно обозначаются как d_v и d_L.

На рис. данная ситуация представлена в виде схемы; стрелка указывает критический уровень d, который обозначается как d . Если бы мы знали зна­чение d_крит, то могли бы сравнить с ним значение d, рассчитанное для нашей регрессии. Если бы оказалось, что d> d_крит, то мы не смогли бы отклонить ну­левую гипотезу от отсутствии автокорреляции. В случае d<d_крит мы бы откло­нили нулевую гипотезу и сделали вывод о наличии положительной автокор­реляции

Вместе с тем мы знаем только, что d_криm находится где-то между d_L и d_U. Это предполагает наличие трех возможностей:

1. Величина d меньше, чем d_L. В этом случае она будет также мень­ше, чем d_Kpum, и поэтому мы сделаем вывод о наличии положитель­ной автокорреляции.

2. Величина d больше, чем d_U. В этом случае она также больше кри­тического уровня, и поэтому мы не сможем отклонить нулевую гипо­тезу.

3. Величина d находится между d_L и d_U. В этом случае она может быть больше или меньше критического уровня. Поскольку нельзя опреде­лить, которая из двух возможностей налицо, мы не можем ни откло­нить, ни принять нулевую гипотезу.

В случаях 1 и 2 тест Дарбина—Уотсона дает определенный ответ, но случай 3 относится к зоне невозможности принятия решения, и изменить создавше­еся положение нельзя.

Проверка на отрицательную автокорреляцию проводится по аналогичной схеме, причем зона, содержащая критический уровень, расположена симмет­рично справа от 2. Так как отрицательная автокорреляция встречается относи­тельно редко, предполагается, что при необходимости вы сами вычислите гра­ницы зоны на основе соответствующих значений для положительной автокор­реляции при данном числе наблюдений и объясняющих переменных. Это дос­таточно легко сделать. Как показано на рис., величина (4 — d_U) есть нижний предел, ниже которого признается отсутствие автокорреляции, а (4 - d_L) — верх­ний предел, выше которого делается вывод о наличии отрицательной автокор­реляции.