Полиномиальная регрессия.
Полиномиальная регрессия означает приближение данных (xi,yi) полиномом(многочлен) k–й степени A(x)=a+b×x+c×x2+d×x3+…+h×xk. При k=1 полином является прямой линией (см. предыдущий раздел линейная регрессия), при k=2 – параболой, при k=3 – кубической параболой и т. д. Как правило, на практике применяются k<5. Регрессия полиномами разной степени (для разных k) иллюстрируется в виде коллажа на рис. снизу.
Замечание 1. Для построения регрессии полиномом k–й степени необходимо наличие по крайней мере (k+1) точек данных.
Замечание 2. Помимо приближения массива данных одним полиномом, регрессию можно проводить также отрезками полиномов. В этом случае имеется возможность осуществить регрессию сшивкой отрезков (точнее говоря, участков, т. к. они криволинейной формы) нескольких полиномов. Регрессия одним полиномом эффективна, когда множество точек выглядит приблизительно как полином, а регрессия отрезками полиномов оказывается полезной в противоположном случае.
Например, моделирование зависимости цены производства (Y) от объема выпуска (X); при этом b1 < 0, b2 >0.
Моделировании зависимости годовой зарплаты человека (Y) от возраста (X); при этом b1 > 0, b2 < 0.
29. Кривая Филлипса
Кривая Филлипса — графическое отображение предполагаемой обратной зависимости между уровнем инфляции и уровнем безработицы.
Предложена в 1958 году английским экономистом Олбаном Филлипсом, который на основе эмпирических данных поАнглии за 1861—1957 годы вывел корреляционную зависимость между уровнем безработицы и изменением прироста денежной заработной платы.
Зависимость первоначально показывала связь безработицы с изменениями зарплат: чем выше безработица, тем меньше прирост денежной заработной платы, тем ниже рост цен, и наоборот, чем ниже безработица и выше занятость, тем больше прирост денежной заработной платы, тем выше темп роста цен. Впоследствии была преобразована в зависимость между ценами и безработицей.
В долгосрочном периоде согласно Фридману представляет собой вертикальную прямую, иначе говоря, показывает отсутствие зависимости между уровнем инфляции и уровнем безработицы.
П— уровень инфляции, Пе— ожидаемый уровень инфляции, U-Ue— отклонение безработицы от естественного уровня — циклическая безработица, b>0— коэффициент, — Шоки предложения.
Стагфляция,
поразившая в 1970-х годах экономики
развитых стран, дискредитировала идею
кривой Филлипса. Последователи
кейнсианства, которые разделяли основные
предпосылки
данной
теории, были вынуждены признать, что
чёткой обратной зависимости между
инфляцией и безработицей нет, и возможны
другие варианты.
Гетероскедастичность. Последствия гетероскедастичности для оценок параметров регрессии методом наименьших квадратов и проверки статистических гипотез.
Гомоскедастичность или гомогенность дисперсии — состояние, при котором измерения вариативности колеблются внутри диапазона, ожидаемого при случайной вариативности.
Гетероскедастичность — состояние, при котором измерения вариативности являются большими, чем ожидаемые случайно.
Проявление
гетероскедастичности связано с нарушением
одного из семи условий Гаусса-Маркова:
случайный член имеет постоянную дисперсию
(
).
Чаще гетероскедастичность возникает
в моделях, основанных на перекрестных
выборках, но встречается и во временных
рядах.
Виды: 1. истинная (вызывается непостоянством дисперсии случайного члена, ее зависимостью от различных факторов);
2. ложная (вызывается ошибочной спецификацией модели регрессии).
Источники: 1. истинная гетероскедастичтность возникает в пространственных выборках при зависимости масштаба изменений зависимой переменной от некоторых переменных, называемой фактором пропорциональности(Z).
2. истинная гетероскедастичность возникает также с во временных рядах, когда зависимая переменная имеет большой интервал качественно неоднородных знаний или высокий темп изменения.
3. истинная гетероскедастичность возникает в любой модели в случае если качество данных варьирует внутри выборки.
Гетероскедастичность
простейшего вида:
,
Z
– фактор пропорциональности (переменная,
включенная или не включенная в уравнение
регрессии)
Последствия: 1. истинная не приводит к смещению оценок коэффициентов регрессии;
2. гетероскедастичность увеличивает дисперсию распределения оценок коэффициентов.
3. гетероскедастичность вызывает тенденцию к недооценке стандартных ошибок коэффициентов при использовании OLS (метод наименьших квадратов).