Задания для контрольной работы №2

Задание 1

В задачах 1 – 20 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

1. а) б) в)

2. а) б) в)

3. а) б) в)

4. а) б) в)

5. а) б) ; в)

6. а) б) в) .

7. а) б) в)

8. а) б) в)

9. а) б) в)

10. а) б) в)

11. а) б) в)

12.а) б) в)

13. а) б) в)

14. а) б) в)

15. а) б) в)

16. а) б) в)

17. а) б) в)

18. а) б) в)

19. а) б) в)

20. а) б) в)

Задание 2

В задачах 1 – 10 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

1. у = х³; у = 2. у = у = 6 – х .

3. у = у = 4 – х . 4. у = х²+2; у = 4 – х².

5. у = - х²+1; у = х – 1. 6. у = x² – 4x+4; y=x.

7. y = y = 4x. 8. y = y = 7 – x.

9. y = 3x²+1; y = 3x+7. 10. y = 2x – x²; y = - x.

В задачах 11 – 15 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

11. y² = x; y = x². 12. xy = 4; x = 1; x = 4; y = 0.

13.y = sin x (одна полуволна); y = 0. 14. y = x²+1; y = 3x – 1.

15.

В задачах 16 – 20 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

16. y² =4 – x ; x=0. 17.

18. x + y – 2 =0; x=0; y=0. 19. xy =2; x=0; y=1; y=4.

20. y =-x²+4; x=0; y=0; y=3.

Задание 3

В задачах 1 – 20 найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

1. (e^2x+1)dy+ye^2xdx=0. 2. (2+y) dx – (2 – x ) dy =0.

3. x²dy+(y – 1)dx =0. 4. y (e^x+1)dy – e^xdx =0.

5. (e^x+2)y^/ =ye^x. 6. y^/ =e^{x – y} .

7. xyy^/ = 3x². 8. y^/ tg x – y =0.

9. (1+x²)y^/ = 1+y². 10. y^/ cos x – y sin x=0.

11. xy^/ - y =x³. 12. xy^/ - y = – 2lnx.

13. x³y^/ +3x²y =2. 14. y^/ + e^x y =e^2x.

15. xy^/ + y = x+1. 16. y^/ – y cosx = – sin 2x.

17. xy^/ – y = -ln x. 18. y^/ – 4xy = -4x³.

19. 2xy^/ + y = 2x³ . 20. y^/ + xy = –x³.

Задание 4

В задачах 1 – 20 найти общее решение дифференциального уравнения.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Задание 5

В задачах 1 – 20 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

1.y′′+y′-2y=6x2,y(0)=-4,y′(0)=–1.

2. y′′–4y =8x3, y(0) = 2, y′(0) = – 3.

3. y′′– 2y′ +y =8ex, y(0) = 1, y′ (0) =3.

4. y′′+ 2y′+5y = 4e-x, y(0) = 1, y′ (0) -1.

5. y′′+6y′+9y = 10 sin x, y(0)=0, y′(0) =1.

6. y′′+9y = cos 3x, y(0) =1, y′ (0) =3.

7. y′′– 3y′ +2y =ex, y(0) =2, y′(0) = 2.

8. y′′– 5y′ + 6y = 13 sin 3x, y(0) = 2, y′ (0)=2.

9. y′′– 2y′ = 2x+1, y(0) =1, y′(0) =1.

10. y′′+ y =2x3– x+2, y(0) =3, y′(0) = – 2.

11. y′′+y′-2y=6x2,y(0)=-4,y′(0)=–1.

12. y′′–4y =8x3, y(0) = 2, y′(0) = – 3.

13. y′′– 2y′ +y =8ex, y(0) = 1, y′ (0) =3.

14. y′′+ 2y′+5y = 4e-x, y(0) = 1, y′ (0) -1.

15. y′′+6y′+9y = 10 sin x, y(0)=0, y′(0) =1.

16. y′′+9y = cos 3x, y(0) =1, y′ (0) =3.

17. y′′– 3y′ +2y =ex, y(0) =2, y′(0) = 2.

18. y′′– 5y′ + 6y = 13 sin 3x, y(0) = 2, y′ (0)=2.

19. y′′– 2y′ = 2x+1, y(0) =1, y′(0) =1.

20. y′′+ y =2x3– x+2, y(0) =3, y′(0) = – 2.

Задание 6

В задачах 1 – 20 дан степенной ряд

При заданных значениях а и b написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

1. a=2, b=3. 2. a=3, b= 5. 3. a=4, b=7. 4. a=5, b=9.

5. a=7, b=6. 6. a=2, b=5. 7. a=3, b=2. 8. a=4, b=3.

9. a=5, b=2. 10. a=6, b=4. 11. a=3, b=7. 12. a=4, b=5.

13. a=8, b=3. 14. a=7, b=4. 15. a=5, b=7. 16. a=2, b=6.

17. a=3, b=4. 18. a=7, b=5. 19. a=5, b=8. 20. a=2, b=4.

Задание 7

В задачах 1 – 20 вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

Задание 8

1. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплете.

2. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса.

3. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

4. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму.

5. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым – 0,7, третьим – 0,8. Найти вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель: а) все три стрелка; б) попадает хотя бы один из них.

6. В ящике лежат 20 электрических лампочек, из которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки окажутся стандартными.

7. Одновременно бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой появится нечетное количество очков.

8. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40% , второго сорта – 50% , третьего сорта – 10% . Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта, равна 0.8, второго – 0.5, третьего – 0.3. Найти вероятность того, что взойдет наугад взятое зерно.

9. В магазин поступили телевизоры из трех заводов. Вероятность того, что телевизор изготовлен на первом заводе, равна – 0.3, на втором – 0.2, на третьем – 0.5. Вероятность того, что телевизор окажется бракованным, для первого завода равна 0.2, для второго – 0.1, для третьего – 0.3 .Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор окажется небракованным.

10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производится 4 выстрела. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) три раза; б) не более двух раз.

11. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам на удачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

12. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

13. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.

14. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р, а для второго – 0.7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0.38. Найдите р.

15. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпадет одинаковое число очков.

16. В партии из 10 изделий имеется 4 бракованных. Наугад выбирают 5 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 5 изделий окажется 3 бракованных.

17. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.75; для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Найти вероятность того, что: 1) все три стрелка попадут в цель; 2) все трое промахнутся; 3) только один стрелок попадет в цель; 4) хотя бы один стрелок попадет в цель.

18. В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, во втором – 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. Чему равна вероятность того, что вынутые шары разного цвета?

19. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0.8, для второго – 0.9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.

20. Из партии, в которой 20 деталей без дефектов и 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что: 1) все три детали без дефектов; 2) по крайней мере одна деталь без дефектов?

Задание 9

В задачах 1 –10 дана вероятность р того, что семя злака прорастет. Найти вероятность того, что из n посеянных семян прорастет ровно k семян.

1.n =100, р=0.9, k=95. 6.n =100, р=0.8, k=85.

2.n =400, p=0.8, k=330. 7.n =400, p=0.9, k=330.

3.n =900, p=0.36, k=340. 8.n =900, p=0.25, k=240.

4.n =225, p=0.64, k=158. 9.n =225, p=0.49, k=112.

5.n =250, p=0.81, k=200. 10.n =250, p=0.64, k=160.

В задачах 11 – 20 дана вероятность р появления события А в каждом из n независимых испытаний. найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее k₁ раз и не более k₂ раз.

11.n =360, p=0.8, k₁=280, k₂=300.

12.n =490, p=0.6, k₁ =320, k₂=350.

13.n =640, p=0.9, k₁=500, k₂=540.

14.n =225, p=0.2, k₁=50, k₂=60.

15.n =810, p=0.4, k₁=340, k₂=400.

16.n =250, p=0.7, k₁=150, k₂=180.

17.n =300, p=0.3, k₁=110, k₂=130.

18.n =625, p=0.8, k₁=480, k₂=500.

19.n =100, p=0.5, k₁=60, k₂=80.

20.n =256, p=0.9, k₁=200, k₂=220.

Задание 10

В задачах 1 – 20 задан закон распределения дискретной случайной величины Х ( в первой строке указанны возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ.

1. Х 8 4 6 5

р 0,3 0,2 0,2 0,3

2. Х 13 25 27 29

р 0,2 0,1 0,3 0,4

3. Х 10 8 6 9

р 0,4 0,1 0,3 0,2

4. Х 32 40 37 35

р 0,1 0,3 0,4 0,2

5. Х 42 41 43 45

р 0,3 0,3 0,2 0,2

6. Х 15 11 13 12

р 0,2 0,5 0,2 0,1

7. Х 52 54 57 51

р 0,1 0,4 0,3 0,2

8. Х 21 20 22 26

р 0,5 0,2 0,2 0,1

9. Х 34 30 32 36

р 0,2 0,4 0,3 0,1

10. Х 50 48 51 53

р 0,3 0,2 0,2 0,3

11. Х 8 4 6 5

р 0,3 0,2 0,2 0,3

12. Х 13 25 27 29

р 0,2 0,1 0,3 0,4

13. Х 10 8 6 9

р 0,4 0,1 0,3 0,2

14. Х 32 40 37 35

р 0,1 0,3 0,4 0,2

15. Х 42 41 43 45

р 0,3 0,3 0,2 0,2

16. Х 15 11 13 12

р 0,2 0,5 0,2 0,1

17. Х 52 54 57 51

р 0,1 0,4 0,3 0,2

18. Х 21 20 22 26

р 0,5 0,2 0,2 0,1

19. Х 34 30 32 36

р 0,2 0,4 0,3 0,1

20. Х 50 48 51 53

р 0,3 0,2 0,2 0,3

Задание 11

В задачах 1 – 20 случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(х). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(х); 2) математическое ожидание М(х); 3) дисперсию D(Х).

1. F(x)= 2. F(x)=

3. F(x)= 4. F(x)=

5. F(x)= 6. F(x)=

7. F(x)= 8. F(x)=

9. F(x)= 10. F(x)=

11. F(x)= 12. F(x)=

13. F(x)= 14. F(x)=

15. F(x)= 16. F(x)=

17. F(x)= 18. F(x)=

19. F(x)= 20. F(x)=

Задание 12

1.Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200,5мм. Найти процент стандартных деталей.

2. Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25см, среднее квадратическое отклонение равно 5см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20см.

3. Процент всхожести семян равен 90% . Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

4. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0,5.Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.

5.Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95.

6. Средний вес зерна равен 0,2 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,05 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0,16г до 0,22г.

7. Норма высева семян на 1 га равна 200кг. Фактический расход семян на 1га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100га с гарантией 0,95.

8. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200,5мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

9. Масса яблока, средняя величина которой равна 150г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130г до 180г.

10. Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0,9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.

11.Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200,5мм. Найти процент стандартных деталей.

12. Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25см, среднее квадратическое отклонение равно 5см. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20см.

13. Процент всхожести семян равен 90% . Оценить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

44. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0,5.Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.

15.Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95.

16. Средний вес зерна равен 0,2 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,05 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от 0,16г до 0,22г.

17. Норма высева семян на 1 га равна 200кг. Фактический расход семян на 1га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100га с гарантией 0,95.

18. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5мм и 200,5мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

19. Масса яблока, средняя величина которой равна 150г, является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130г до 180г.

20. Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0,9. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.