Тема 7 Случайные величины и их числовые характеристики

Задача 1. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х 40 42 41 44,

Р 0,1 0,3 0,2 0,4.

Найти: 1) математическое ожидание M(X); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение .

1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

Х x₁ x₂ . . . x_n

P p₁ p₂ . . . p_n

где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй -вероят­ности этих значений, то математическое ожидание М (Х) вычисляется по формуле

M (X)= x₁ p₁+ x₂ p₂+…+ x_n p_{n =}

Тогда М(Х)=40 0,1 + 42 0,3 + 41 0,2 + 44 0,4 = 42,4

2) Дисперсией D(Х) дискретной случайной величины Х называется математи­ческое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математи­ческого ожидания, т. е.

D(X) =М[Х — М(Х)]²=

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от М(Х). Имеем

D(X)=

Дисперсию D(X) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(Х) равна разности между математическом ожиданием квадрата случайной ве-личины Х и квадратом ее математического ожидания М(Х), то есть D(X)=M(X²)-[M(X)].²

Для вычисления М(Х²) составим следующий закон распределения величины Х²

X² 40² 42² 41² 44²

P 0,1 0,3 0,2 0,4

Тогда М(X² ) =40² • 0,1 + 42² • 0,3 + 41² • 0,2 + 44² • 0 4= 160 + 529,2 + 336,2 + 774,4 = 1799,8 и D(X) =1799,8 — 42,4²=2,04.

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение (Х) случайной величины Х, равное квадратному корню из дисперсии D(Х), то есть

Из этой формулы имеем: = 1,43.

З адача 2. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

0 при x<0,

F(x)= x³ при

1 при x>1

1) Найти дифференциальную функцию распределения f(х); 2) математи-ческое ожидание М(Х); 3) дисперсию D (Х).

Решение: 1) Дифференциальной функцией распределения f(х) непрерывной случайной величины Х называется производная от интегральной функции распределения F(x) то есть f(х) =F'(х).

Дифференциальная функция имеет следующий вид:

0 при x<0,

f(х) = 3x² при

0 при x>1.

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(х)), то ее математическое ожидание определяется формулой:

Так как функция p(x) при x<0 и при х>1 равна нулю, то из последней формулы имеем:

.

3) Дисперсию D(X) определим по формуле

Задача 3. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2)вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5 мм.

Решение: 1) Пусть Х — длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(х), то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку определяется по формуле:

Вероятность выполнения строгих неравенств определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

где Ф(х) – функция Лапласа, а=М(Х), .

В задаче а =40, α =34, β = 43, σ = 3. Тогда

Р (34<X<43) = Ф - Ф = Ф(1) – Ф(-2) = Ф(1)+Ф(2) = =0.3413+0.4772=0.8185.

2) По условию задачи α – δ < Х < α + δ, где а =40; δ=1.5.

Подставив в (1) α=а- δ, β= α + δ, имеем

Р(α – δ<X< α + δ)=Ф - Ф =Ф -Ф =2 Ф , то есть

Р( <δ)=2Ф

Из формулы (2) имеем: Р( <1.5)=2 Ф =2 Ф(0.5)=2 0.1915=0.383.

Вопросы для самопроверки

1.Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными?

2.Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?

3.Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? Ее дисперсией? Средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.

4.Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.

5. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

6. Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.

7.Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

8. Сформулируйте правило «трех сигм».

9. Назовите сущность закона больших чисел.

10. Напишите неравенство Чебышева.