Тема 2 Определенный интеграл

Задача 1. Вычислить, площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²+4x, у=х+4 (рис. 1).

Решение. Площадь S фигуры, ограниченной сверху н снизу непрерывными линиями у=f(х) и у= (х), пересекающимися в точках с абсциссами x=а и х=b, определяется по формуле

(1)

Рис. 1

Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений

y= х²+4х,

у = х+4.

х²+4х=х+4, х²+3х-4=0, откуда x₁=- 4, х₂=1.

Применяя формулу (1), получим:

(кв.ед.)

Вопросы для самопроверки

1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Напишите интегральную сумму для функции у=f(х) на отрезке [а; b]

3. Что называется определенным интегралом от функциями y=f(х) на отрезке [а; b]?

4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?

7. Напишите формулу Ньютона — Лейбница.

8. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

9. Как вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох? оси Оу?

10. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.

11. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.

Тема 3 Дифференциальные уравнения

Задача 1. Решить уравнение у' — y tgx= — у²cos х.

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для решения линейного уравнения) искомую функцию у представим в виде произведения двух других функций: и=и(х) и v=v'(х), то есть введем подстановку у=и v. Тогда у'=и'v+v'и, и данное уравнение примет вид:

и'v+иv' - uv tg х= - и'v' cos x

или

v (и' - и tg х) +иv'= - u² v² cos x (1)

Выберем функцию и так, чтобы

(и' - и tg х) =0 (2)

При подобном выборе функции u уравнение (1) примет вид

иv'=-u²v² cos x или v'= — uv²cos x (3)

Решая (2) как уравнение с разделяющимися переменными, имеем:

, , .

Здесь произвольная постоянная С=0. Подставляя найденное значение и в уравнение (3) имеем:

Тогда у=иv= - общее решение данного уравнения.

Задача 2. Найти частное решение уравнения у"+4у=4sin2x—8соs2х, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у'(0) =0.

Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения у_одн однородного уравнения и какого-либо частного решения у данного уравнения, то есть y=y_одн+ .

Для нахождения у_одн составим х а р а к т е р и с т и ч е с к о е уравнение k²+4=0, имеющее комплексные корни k_i=2i и k₂=-2i. В этом случае общее решение одно­родного уравнеия ищем в виде y_одн=e^ax(C₁ cos +C₂ sin ) , где i – комплексные корни характеристического уравнеия. Подставим в (4) , , имеем: y_одн= C₁ cos2x+C₂ sin2x

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция f(x)=e^ax(a cos +b sin ) и числа не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение

Применяя эту теорему при =0, =2, имеем:

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим

=(4B — 4Ах)cos2х+(—4А — 4Вх) sin 2х.

Подставив в данное уравнение у и , получим:

4В cos 2х — 4А sin 2х=4 sin 2х — 8 cos 2х, откуда А= — 1, В= — 2.

Значит, = — x(соs 2х+2 sin2х) и у= С₁соs 2х+С₂ sin 2 - x(соs 2х+2 sin 2x)

Найдем у'. у'=-2С₁ sin 2х+2С₂соs 2х- соs 2х-2sin 2х- х(-2 sin2х+4 соs 2х).

Используя начальные условия, получим систему:

С ₁=0

2С₂ – 1=0, откуда С₁=0, С₂= .

Следовательно, у= sin 2х — x(соs 2х+2 sin 2х) есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Вопросы для самопроверки

1.Что навязывается дифференциальным уравнением?

2.Что называется общим решением дифференциального уравнения? частным решением?

3.Каков геометрический смысл частного решения дифференциального. уравнения первого порядка?

4.Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? уравнением Бернулли? Укажите способ их решения.

6.Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?

7.Какое уравнение называется характеристическим для однородного ддифференциального уравнения второго порядка?

8. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

9. Как найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

10. Какой вид имеет частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция?