Тема 4 Ряды

Задача 1. Написать первые три члена ряда найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение: Беря последовательно n=1, 2, 3, ..., запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству <1, или |x|< , или

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При х= данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит, х — принадлежит области сходимости данного ряда.

При х= данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального пpизнака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

Так, как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. 3начит, при х= исходный ряд сходится. Таким образом, область сходимости данного ряда.

Задача 2. Вычислить с точностью до 0,001.

Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив х в разложении функции sin х на , имеем:

Тогда

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

3. Какой числовой ряд называется сходящимся?

4. Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

5. Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

6. Назовите признак Даламбера сходимости рядов, радикальный признак сходимости Коши?

7. В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

8. Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

9. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

10. Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? условно сходящимися?

11. Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

12. Kaк найти область сходимости степенного ряда?

13. Запишите разложение в степенной ряд функций е^x, sin х, соs х, (1+x)^m, 1n 5(1+х).

14. Как обеспечивается требуемая точность при применении степенны рядов в при­ближенных вычислениях?

Тема 5 Случайные события. Вероятность события

Наблюдение явления (эксперимент) называется испытанием. Результат испытания называется событием.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появления другого в одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию , обозначают через .

Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным.

Событие называют невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Событие называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится одно из них.

Событие называется благоприятствующим событию , если наступление события влечет за собой наступление события .

Классическое определение вероятности. Вероятностью события называют отношение числа исходов, благоприятствующих событию , к общему числу исходов, т.е.

.

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна единице: .

2. Вероятность невозможного события равна нулю: .

3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей:

.

Суммой событий и называется событие , состоящее в том, что произошло или событие , или событие , или оба одновременно.

Произведением событий и называют событие , состоящее в том, что произошло и событие , и событие .

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность наступления одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Два события и называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события называют зависимыми.

Условной вероятностью события называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.

Заметим, что если события и независимы, то

Теорема умножения вероятностей.

1. Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое уже наступило:

.

2. Вероятность произведения двух независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий:

.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

.

Формула полной вероятности. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из попарно несовместных событий , , …, (их называют гипотезами), образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :

.

Формула Бейеса. Если произведено одно испытание, в результате которого произошло событие , то можно переоценить вероятности гипотез:

( ),

где вероятность вычисляется по формуле полной вероятности.