Количество выражений стоящих в ковариационной матрице
Количество акций в портфеле |
Общее количество элементов матрицы |
Количество диагональных элементов |
Количество недиагональных элементов |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
4 |
2 |
2 |
|
3 |
9 |
3 |
|
|
10 |
100 |
10 |
90 |
|
100 |
1000 |
100 |
9900 |
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
|
N |
N2 |
N |
N2 - N |
|
Количество диагональных элементов совпадает с Количеством акций в портфеле.
Количество же недиагональных элементов возрастает гораздо быстрее, чем Количество диагональных элементов, следовательно, дисперсия портфеля состоящего из множества ценных бумаг больше зависит от ковариации между отдельными ценными бумагами, нежели от дисперсий отдельных ценных бумаг.
Посмотрим, насколько больше дисперсия портфеля состоящего из множества ценных бумаг больше зависит от ковариации между отдельными ценными бумагами, нежели от дисперсий отдельных ценных бумаг.
Условный пример. Предположения:
1) Все ценные бумаги обладают одинаковыми дисперсиями, δi2 = var.
2) Все пары ценных бумаг имеют одинаковую ковариацию, δij = cov.
Вывод: var всегда больше cov.
3) Все пары ценных бумаг портфеля имеют в нем одинаковые доли, Xi = 1/N – доля каждой бумаги в портфеле.
С учетом этих предположений построим ковариационную матрицу….
Посчитаем дисперсию для нашего специфического примера, то есть сумму всех диагональных и недиагональных элементов матрицы.
δp2 = N*1/N2var + (N2 – N)*(1/N2)cov = 1/Nvar + (N2 – N/N2)cov = 1/Nvar + (1-1/N)cov,
при N => ∞; 1/Nvar => 0, 1/N => 0. Следовательно
П
lim δp2 = cov
N=>∞
редел:
То есть получается, что дисперсия ушла, осталась только ковариация. Для примера о портфеле с множеством ценных бумаг.
Зависимость дисперсии портфеля от количества ценных бумаг
Риск сводится от дисперсии к ковариации, но от ковариации не уйти.
A – Диверсифицированный риск (специфический, несистематический). Этот риск можно снизить.
B – Не диверсифицируемый риск (рыночный, систематический). Этот риск снизить нельзя.
Модель оценки финансовых активов (capm – capital assets pricing module)
Показывает отношение между ожидаемой доходностью и недиверсифицируемым риском ценной бумаги.
Где
βi – мера недиверсифицируемого риска,
Rf – точка безрисковой доходности,
SML (security market line) – линия рынка ценных бумаг.
Rm – доходность рыночного портфеля.
Отсюда можем записать уравнение линии рынка ценных бумаг (sml)
Ri =Rf + βi*(Rm-Rf)
Коэффициент βi показывает чувствительность доходности актива к изменениям на рынке.
1) Если βi = 1, то это значит, что доходность акции изменяется пропорционально доходности рыночного портфеля.
2) Если βi > 1, то это значит, что доходность акции изменяется быстрее доходности рыночного портфеля.
3) Если βi < 1, то это значит, что доходность акции изменяется медленнее доходности рыночного портфеля, то есть ее риск меньше.
Почему если βi = 1, то это значит, что доходность акции изменяется пропорционально доходности рыночного портфеля. А потому что:
Rm = Rf + βm*(Rm-Rf), отсюда видно что βm = 1, то есть β коэффициент рыночного портфеля равен единице.
(Rm-Rf) – премия за риск.