Лекции

Лекции №1 и №2

7 Сентября 2011 года

Матрицы.

Определение матрицы. Обозначения элементов матрицы. Квадратные матрицы, строки, столбцы. Главная диагональ. Нулевые, трапециевидные, треугольные, диагональные, единичные матрицы. Симметрические и кососимметрические матрицы. Равенство матриц. Сложение и вычитание матриц. Умножение числа на матрицу. Умножение матриц. Коммутативность сложения матриц (без доказательства), ассоциативность сложения матриц (без доказательства). Дистрибутивность умножения числа на матрицу (два варианта, оба без доказательства). Ассоциативность умножения чисел на матрицу (без доказательства). Сложение с нулевой матрицей (без доказательства). Отсутствие свойства коммутативности умножения (приведён опровергающий пример). Коммутирующие матрицы (очевидные примеры с нулевой и единичной матрицами). Ассоциативность умножения матриц (без доказательства). Ассоциативность умножения числа и двух матриц (без доказательства). Две версии дистрибутивности умножения матрицы на сумму двух матриц. Умножение матрицы на нулевую матрицу (два свойства, оба без доказательства). Умножение матрицы на единичную матрицу (два свойства, оба без доказательства). Квадрат матрицы. Многочлен от матрицы. Отсутствие свойства равенства нулевой матрице хотя бы одного сомножителя при произведении, равном нулевой матрице. След матрицы. Транспонирование матриц. Транспонирование произведения матриц (без доказательства).

Определители.

Понятие инверсной пары. Определение определителя матрицы. Определитель матрицы 1х1. Определитель матрицы 2х2 (получение явной формулы). Определитель матрицы 3х3 (получение явной формулы), правило Саррюсса. Неизменность определителя при транспонировании матрицы (следствие о дублирования свойств определителей для строк и столбцов). Свойство изменения знака определителя при перемене местами двух строк матрицы (доказательство для соседних и произвольных строк). Свойство равенства нулю определителя матрицы с двумя одинаковыми строками. Понятие минора матрицы. Формула для нахождения определителя матрицы, у которой в первой строке только первый элемент отличен от нуля. Понятие алгебраического дополнения. Формула для нахождения определителя матрицы, у которой в некоторой строке есть только один элемент, отличный от нуля.

Лекция №3

14 Сентября 2011 года

Формула разложения определителя по строке. Определитель матрицы со строкой из нулей. Вынесение общего множителя из строки за знак определителя. Парадокс об определителе матрицы, умноженной на число. Определитель матрицы, строка которой представлена в виде суммы (без доказательства). Неизменность определителя при втором элементарном преобразовании. Определитель треугольной матрицы. Понятие о ступенчатой (блочной) матрице. Определитель ступенчатой (блочной) матрицы (без доказательства). Определитель произведения двух матриц (без доказательства). Практический метод нахождения определителя.

Обратные матрицы.

Определение левой обратной матрицы. Определение правой обратной матрицы. Доказательство равенства левой и правой обратной матриц. Единственность обратной матрицы. Вырожденные (особенные) матрицы. Невырожденные (неособенные) матрицы. Доказательство того, что вырожденные матрицы не имеют обратных матриц. Взаимные (союзные) матрицы. Явная формула для нахождения обратной матрицы (без доказательства).

Лекции №4 и №5