12 Октября 2011 года

Точки сгущения вещественной оси, множества натуральных чисел.

Общее определение предела функции. Примеры: , , , где Случай, когда точка, в которой вычисляется предел, плюс бесконечность, а предел конечный. Случай, когда точка, в которой вычисляется предел, бесконечность без знака, а предел конечный. Случай, когда точка, в которой вычисляется предел, конечная, а предел плюс бесконечность. Случай, когда точка, в которой вычисляется предел, конечная, а предел бесконечность без знака. Случай, когда точка, в которой вычисляется предел, плюс бесконечность и предел плюс бесконечность. Случай, когда точка, в которой вычисляется предел, бесконечность без знака и предел плюс бесконечность. Односторонние пределы. Предел _{числовой последовательности. Теорема о единственности предела (без доказательства). Теорема о предельном переходе в равенстве. Пример Определение бесконечно малой функции. Определение бесконечно большой функции. Теоремы (обе) о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций (без доказательства). Теорема о структуре функции, имеющей конечный предел (без доказательства). Теорема обратная к теореме о структуре функции, имеющей конечный предел (без доказательства). Предел константы. Линейность предела (без доказательства). Теорема о пределе произведения (без доказательства). Теорема о пределе частного (без доказательства). Первый замечательный предел (без доказательства).} Второй замечательный предел (без доказательства). Сравнение бесконечно малых: бесконечно малые одного порядка (в том числе эквивалентные), бесконечно малые более высокого порядка, несравнимые бесконечно малые (примеры). Применение бесконечно малых при вычислении пределов дробей (с доказательством). Список эквивалентных бесконечно малых при х→0: x~sin x~tg x~arcsin x~arctg x~ln(1+x)~e^x-1 (без доказательства).

Непрерывность.

Определение функции, непрерывной в точке. Свойства графика непрерывной функции. Определение функции, непрерывной справа. Определение функции, непрерывной слева.

Лекции №10 и №11

19 Октября 2011 года

Непрерывность функции на промежутке. Понятие приращения. Формула для приращения функции. Формулировка свойства непрерывности с помощью приращений. Разрывные функции. Классификация разрывов функций. Разрывы первого рода. Устранимые разрывы первого рода (примеры на графиках). Неустранимые разрывы первого рода (примеры на графиках). Разрывы второго рода (примеры на графиках). Кусочно-непрерывные функции. Непрерывность основных элементарных функций (геометрическое доказательство). Теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения, частного двух функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Теорема о непрерывности обратной функции (геометрическое доказательство). Теорема Больцано–Коши 1 (геометрический смысл вместо доказательства). Метод дихотомии для приближённого решения уравнения f(x)=0. Теорема Вейерштрасса 1 (без доказательства). Теорема Вейерштрасса 2 (без доказательства).

Производная.

Определение производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции (без доказательства, найдена производная дифференцируемой функции). Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Примеры непрерывных функций, не являющихся дифференцируемыми. Пример функции, имеющий гладкий график, но не являющейся дифференцируемой. Примеры функций, имеющих бесконечные производные (плюс, минус и без знака). Формулировка предела, который надо найти для вывода производной синуса. Производная сложной функции. Таблица производных от 12 основных элементарных функций (без вывода). Правила дифференцирования четырёх арифметических действий (без вывода). Теорема Ферма (геометрический смысл вместо доказательства). Теорема Лагранжа (геометрический смысл вместо доказательства). Следствие из теоремы Лагранжа. Следствие из следствия из теоремы Лагранжа. Правило Лопиталя (без доказательства).

Исследование функций.

Достаточный признак возрастающей (убывающей) функции (без доказательства). Точки экстремума функции. Определение максимума и минимума. Необходимый признак экстремума функции. Точки подозрительные на экстремум. Достаточный признак экстремума функции (без доказательства).

Лекция №12

26 октября 2011 года

Выпуклость (вогнутость) графика функции. Нахождение формулы касательной к графику функции. Достаточный признак выпуклости (вогнутости) графика функции. Точки перегиба графика функции. Необходимый признак точек перегиба графика функции (без доказательства). Достаточный признак точек перегиба графика функции (без доказательства). Достаточный признак экстремума функции по второй производной. Асимптоты. Нахождение вертикальных асимптот.

Лекции №13 и №14

2 ноября 2011 года

Нахождение невертикальных (наклонных и горизонтальных) асимптот. Независимость друг от друга наличия и вида асимптот на разных бесконечностях.

Дифференциал.

Определение дифференциала функции. Дифференциал независимой переменной. Обозначение производной с помощью дифференциалов. Инвариантность дифференциала.

Неопределённый интеграл.

Понятие первообразной функции. Свойства первообразной функции. Неопределённый интеграл. Производная неопределённого интеграла. Неопределённый интеграл от производной. Дифференциал неопределённого интеграла. Неопределённый интеграл от дифференциала. Линейность неопределённого интеграла. Замена переменной в неопределённом интеграле. Правило интегрирования по частям. Получение таблицы интегралов из таблицы производных.

Определённый интеграл.

Определение определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Линейность определенного интеграла. Монотонность определённого интерала по функции. Монотонность определённого интерала по промежутку. Случаи, когда верхний предел меньше или равен нижнего предела. Аддитивность определенного интеграла (геометрический смысл вместо доказательства). Замечание о справедливости свойства аддитивности при произвольных отношениях порядка между пределами интегрирования. Теорема о среднем значении (геометрический смысл вместо доказательства). Теорема о производной от определенного интеграла по верхнему пределу (теорема Барроу). Формула Ньютона-Лейбница. Обозначение скачка функции на отрезке с помощью вертикальной палочки, обычно используемое в формуле Ньютона-Лейбница.

Лекция №15