9 Ноября 2011 года

Определенные интегралы от кусочно-непрерывных функций.

Несобственный интеграл.

Несобственный интеграл по неограниченному (справа, слева, с обеих сторон) промежутку. Несобственный интеграл от неограниченной функции. Несобственный интеграл от функции с особенностью на левом конце промежутка, на правом, во внутренней точке промежутка, на обоих концах промежутка. Несобственный интеграл от функции с бесконечными границами по неограниченному о обоих сторон промежутку.

Ряды.

Числовые ряды. Сумма бесконечного числа слагаемых. Сумма ряда. Сходимость ряда. Нахождение коэффициентов разложения функции в степенной ряд. Факториал. Определение факториала от нуля. Разложение функции в ряд Маклорена (без доказательства и без формулировки теоремы). Разложения в ряд экспоненты. Получение в виде ряда константы e.

Лекции №16 и №17

16 Ноября 2011 года

Разложение в ряд синуса. Получение разложения косинуса дифференцированием ряда для синуса. Интегрирование в виде ряда.

Комплексные числа.

Определение комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Число i. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Модуль комплексного числа. Аргумент комплексного числа (многозначный и однозначный). Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа. Экспонента от комплексного числа. Формула Муавра. Корень натуральной из степени комлексного числа (их количество). Логарифм комплексного числа (многозначный и однозначный). Синус и косинус комплексного числа. Тангенс и котангенс комплексного числа. Способ вычислить обратные тригонометрические функции от комплексного числа. История развития понятия числа.

Функции многих переменных.

Функции нескольких переменных. Формула Евклида для определения расстояния. Понятие окрестности в многомерном пространстве. Понятие проколотой окрестности в многомерном пространстве. Определение предела функции нескольких переменных.Непрерывность функции нескольких переменных.

Производные функций многих переменных.

Частные производные функции нескольких переменных. Метод вычисления частных производных.

Лекция №18

23 ноября 2011 года

Длина вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами. Понятие орта. Направляющие косинусы. Задание направления в многомерном пространстве. Производная сложной функции нескольких переменных (без доказательства). Производная по направлению. Градиент и его свойства. Линии и поверхности уровня. Экстремумы функции многих переменных. Необходимый признак экстремума функции многих переменных.

Лекции №19 и №20

30 ноября 2011 года

Достаточный признак экстремума функции двух переменных. Достаточный признак экстремума функции многих переменных (критерий Сильвестра). Определение условного экстремума. Метод неопределённых множителей Лагранжа для нахождения точек, подозрительных на условный экстремум.

Дифференциальные уравнения.

Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении. Порядок дифференциального уравнения. Определение решения дифференциального уравнения. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка. Понятие об общем решении дифференциального уравнения первого порядка. Частные решения дифференциального уравнения. Особые решения дифференциального уравнения. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной. Понятие о дифференциальных уравнениях, не интегрируемых в квадратурах. Геометрический смысл задачи Коши для дифференциального уравнения. Понятие единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной (без доказательства). Метод Эйлера приближённого решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной. Вопрос о «равноправности» независимой переменной и неизвестной функции. Понятие о перевёрнутом уравнении. Понятие об интеграле обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Общие, частные и особые интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример дифференциального уравнения, имеющего особое решение.

Лекция №21