21 Сентября 2011 года

Обратная матрица обратной матрицы (без доказательства). Обратная матрица произведения матриц (без доказательства). Обратная матрица транспонированной матрицы (без доказательства).

Ранг матрицы.

Равенство нулю миноров, начиная с некоторого порядка. Определение ранга матрицы. Элементарные преобразования. Неизменность ранга матрицы при элементарных преобразованиях (без доказательства).

Системы линейных уравнений.

Системы линейных уравнений, обозначения, постановка задачи. Представление системы линейных уравнений в матричной форме. Однородные системы линейных уравнений. Разрешимость однородных систем линейных уравнений. Теорема Крамера (без доказательства). Формулы Крамера. Расширенная матрица системы. Теорема Кронекера-Капелли (без доказательства). Базисные и свободные переменные. Число решений системы линейных уравнений. Метод решения системы линейных уравнений. Матричные уравнения. Возможность нахождения обратной матрицы с помощью решения матричного уравнения.

Собственные числа и собственные столбцы.

Собственные числа. Метод нахождения собственных чисел. Характеристическое уравнение. Собственные столбцы. Метод нахождения собственных столбцов. Определённость собственного столбца с точностью до сомножителя.

Векторные пространства.

Трёхмерная декартова система координат. Векторы. Многомерное (n-мерное) векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Линейная независимость векторов.

Лекция №6

28 Сентября 2011 года

Выяснение вопроса о линейной зависимости/независимости набора векторов. Следствие о максимальном количестве линейно независимых векторов. Вопрос о возможности/невозможности выражения вектора в виде линейной комбинации линейно независимых векторов. Длина вектора на плоскости. Длина вектора в трёхмерном пространстве. Длина вектора в многомерном пространстве. Скалярное произведение векторов в многомерном пространстве. Угол между двумя векторами многомерного пространства.

Аналитическая геометрия.

Общее уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве, как пересечение двух плоскостей.

Лекции №7 и №8

5 Октября 2011 года

Множества.

Обозначения множеств. Принадлежность множеству. Равенство множеств. Подмножество. Универсальное множество. Пустое множество. Операции над множествами (Объединение, пересечение, разность, дополнение). Обозначения числовых множеств. Промежутки. Натуральные, целые, рациональные, вещественные, иррациональные числа. Плюс бесконечность, минус бесконечность и бесконечность без знака. Понятие окрестности. Проколотая окрестность. Односторонние окрестности. Окрестности бесконечных точек. Расширенное множество вещественных чисел.

Функции.

Понятие отображения. Функция. График функции. Монотонные (возрастающие и убывающие функции (в том числе не обязательно на всей области определения). Ограниченные функции (в том числе сверху и снизу) на всей и не на всей области определения. Сложные функции. Обратные функции. Взаимнообратность функций (пример с экспонентой и логарифмом). Свойство графиков взаимнообратных функций (без доказательства). Понятие о сужении функции. Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Основные элементарные функции. Элементарные функции. Существование функций, не являющихся элементарными (два вида: кусочно-заданная функция и обратная функция). Модуль числа. Элементарность модуля. Числовая последовательность.

Пределы.

Точки сгущения множеств. Точки сгущения промежутка.

Лекции №9