Глава 7

РЯДЫ

БИЛЕТ 1

БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД И ЕГО СУММА

О 1

Сумма бесконечного числа величин

U₁, U₂, U₃…U_n…, т.е.

=U₁+U₂+U₃+…+U_n+… (1)

называется БЕСКОНЕЧНЫМ РЯДОМ. Величины U₁, U₂, U₃…U_n… называются ЧЛЕНАМИ РЯДА. Если члены ряда являются числами, то ряд называется ЧИСЛОВЫМ, а если члены ряда являются функциями, то ряд называется ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ.

О2

Сумма первых членов бесконечного ряда называется ЧАСТНОЙ СУММОЙ S_n ряда (1), т.е.

S_n= -U₁+U₂+U₃+…+U_n (2)

О3

СУММОЙ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА (1) называется предел 1 частных сумм (2) этого ряда при условии, что число слагаемых в частичной сумме безгранично увеличивается, т.е.

S= (3)

Если этот предел существует и конечен, то ряд (1) называется СХОДЯЩИМСЯ, а если этот предел не существует или бесконечен, то ряд называется РАСХОДЯЩИМСЯ.

Примером ряда может служить геометрическая прогрессия

=a+aq+aq²+…+aq^n-1+… (4)

S_n=a+aq+aq²+…+aq^n-1= (5)

Исследуем сходимость геометрической прогрессии

Если |q|<1, то =0,т.е. = (6)

Т.е. при этом условии геометрическая прогрессия сходится

Если |q|>0, то = , следовательно, S=

Т.е. в этом случае геометрическая прогрессия расходится.

Если же q=1, то S_n= =na, а т.к. limn= , то lim S_n=∞

Если q=-1, то S_n=a-a+a-a+…, т.е. S₁=a, S₂=a-a=0, S₃=a-a+a=a,… т.е. не существует.

Геометрическая прогрессия и в этом случае расходится.

О4

Разность между суммой сходящегося ряда и его частичной суммой – ОСТАТОК r_n, т.е.

r_n=S-S_n=U_n+1+U_n+2+… (7)

Таким образом, остаток ряда тоже в свою очередь является рядом

Когда ряд (1) сходится, то его частичная сумма S_n является приближенным выражением для суммы S этого ряда, а его остаток r_n является погрешностью (ошибкой) приближенной замены сумы ряда его частичной суммой, когда S S_n

В большинстве случаев величина этого остатка остается неизвестной, поэтому особенно важной является приближенная оценка этого остатка.

Приведем один пример расходящегося ряда. Расходящимся, например, является ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД.

=1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+… (8)

Можно показать, что частичная сумма этого ряда безгранично возрастает. В этом случае частичной суммой мы не можем пользоваться как приближенной оценкой суммы всего ряда.

БИЛЕТ 2

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ (ТЕОРЕМА ОБ УМЕНЬШЕНИИ ЧЛЕНОВ РЯДА НА ОДНО И ТО ЖЕ ЧИСЛО)

Т1

Если ряд

U₁+U₂+U₃+…+U_n+…

Сходится и имеет сумму 3, то и ряд

aU₁+aU₂+aU₃+…+aU_n+…,

получающийся из исходного ряда умножением всех его членов на одно и то же постоянное число а, тоже сходится и имеет сумму aS₁, т.е. постоянный множитель можно выносить за скобки

Доказательство

Дано =S, где S_n= U₁+U₂+U₃+…+U_n, = aU₁+aU₂+aU₃+…+aU_n - частичная сумма второго ряда. Требуется доказать, что

= aU₁+aU₂+aU₃+…+aU_n=a(U₁+U₂+U₃+…+U_n)=aS_n, т.е.

= =a =aS,т.е. 2-й ряд сходится

БИЛЕТ 3

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ (ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ И ВЫЧИТАНИИ РЯДОВ)

Т2

Сходящиеся ряды можно постоянно складывать и вычитать, т.е. если ряды

U₁+U₂+U₃+…+U_n+…

V₁+V₂+V₃+…+V_n+…

Сходятся и имеют суммы S ,

Дано

=S

= , где

U₁+U₂+U₃+…+U_n

V₁+V₂+V₃+…+V_n

Требуется доказать, что

= S где

=(U₁ V₁)+(U₂+V₂)+…+(U_n+V_n)

Доказательство

=(U₁ V₁)+(U₂+V₂)+…+(U_n+V_n)=(U₁+U₂+U₃+…+U_n)±(V₁+V₂+V₃+…+V_n)= ,

= = = S

БИЛЕТ 4

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ (ТЕОРЕМА ОБ ОТБРАСЫВАНИИ ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ РЯДА И О ПРИПИСЫВАНИИ К НЕМУ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ЧЛЕНОВ В НАЧАЛЕ РЯДОВ)

Т3

Сходимость или расходимость ряда не изменится, если в ряде отбросить или приписать к нему конечное число членов в начале ряда

Доказательство

Рассмотрим ряды

U₁+U₂+…+U_n+…

U₃+U₄+…+U_n+2+…

Их частичные суммы равны

U₁+U₂+U₃+…+U_n

U₃+U₄+…+U_n+2,т.е.

(U₁+U₂+…+U_n+U_n+1+U_n+2)-U₁-U₂= S_n+2-U₁-U₂, т.е.

=

Если =S₁, т.е. первый ряд сходится, то =S-U₁-U₂, т.е. и второй ряд сходится, и наоборот, т.е. если 2й ряд сходится, то и 1й ряд сходится.

Если предел частичной суммы одного из этих рядов бесконечен или не существует, т.е. этот расходящийся, то и 2й ряд тоже расходящийся.

БИЛЕТ 5

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ (ТЕОРЕМА О СТРЕМЛЕНИИ К НУЛЮ ОБЩЕГО ЧЛЕНА РЯДА)

Т4

Общий член U_n сходящегося ряда

U₁+U₂+U₃+…+U_n

Стремится к 0, при безграничном возрастании номера члена, т.е.

=0

Доказательство

Рассмотрим частичную сумму

S_n= U₁+U₂+U₃+…+U_n-1+U_n=( U₁+U₂+U₃+…+U_n-1)+U₁=S_n-1+U_n, т.е. U_n=S_n-S_n-1

Отсюда следует, что

= = - =S-S=0

Отсюда следует, что стремление общего члена ряда к 0 является необходимым признаком сходимости ряда, т.е. если ряд сходится, то общий член ряда имеет предел 0, а если ряд расходится, то этот предел не равен 0. Но этот признак сходимости ряда является необходимым но не достаточным, т.е. общий член ряда может стремиться к 0, но ряд может расходиться, так происходит в случае гармонического ряда, когда общий член равен 1/n

U_n=1/n

= =0

БИЛЕТ 6

#5

ПРИНЦИП СРАВНЕНИЯ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Ранее мы отмечали, что если ряд сходится, то его сумма приблизительно равна частичной сумме. Это используется для вычислений. Если же ряд расходится, то частичную сумму использовать нельзя, поэтому, прежде, чем применить разложение функции в ряды, необходимо определить, сходится данный ряд или расходится. Для этого используются различные признаки сходимости рядов.

Т5

Если каждый член ряда U₁+ U₂+U₃+…+U_n+… (17) c положительными членами, начиная с некоторого номера, не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда V₁+V₂+V₃+…+V_n … (18), т.е. U_n V_n, то исходный ряд (17) тоже сходится. Если же каждый член ряда (17), начиная с некоторого номера не меньшего соответствующего члена расходящегося ряда (18), т.е. U_n V_n, то и ряд 17 тоже расходящийся.

Доказательство

U_n V_n или U_n V_n

Отметим, что ограничение, состоящее в том, что U_n V_n или U_n V_n, отбросим и будем считать, что заданное неравенство справедливо для всех членов ряда, т.к., согласно Т3, первые члены ряда, для которых эти неравенства не выполняются можно отбросить.

Т.к. мы рассматриваем ряды с положительными членами, то при суммировании членов рядов их частные суммы будут возрастать с увеличением числа членов в частичной сумме.

Таким образом, частичные суммы этих рядов являются монотонно возрастающими величинами и к ним применима теорема Вейерштрасса

Обозначим через S_n частичную сумму первого ряда

S_n=U₁+U₂+…+U_n, через

второго ряда

=V₁+V₂+…+V_n

Рассмотрим сначала случай, когда U_n V_n , а ряд (18) сходится

, где - сумма ряда 18

Т.к. рассматриваемая частичная сумма монотонно возрастает, то , а т.к. U_n V_n, то S_n т.е. монотонно возрастающая величина S_n ограничена, а по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел

=S, т.е. ряд 17 сходящийся и имеет сумму S.

Рассмотрим 2-й случай когда U_n V_n, а ряд (18) расходящийся, т.е.

=+

Это обозначает, что монотонно возрастающая величина не ограничена. А т.к. в данном случае S_n , то и частичная сумма S_n, тоже не ограничена, т.е.

=+ , т.е. ряд (17) расходящийся.

БИЛЕТ 7

#6

ПРИЗНАК КОШИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Если общий член ряда с положительными членами, начиная с некоторого номера, удовлетворяет неравенству

(19), то ряд сходится.

Доказательство

Рассмотрим случай, когда справедливо неравенство (19). Тогда U_n<qⁿ, т.е. каждый член ряда, начиная с некоторого номера превосходит соответствующий член сходящейся геометрической прогрессии

q + q² + q³+ … + qⁿ + …

Согласно Т5 рассматриваемый ряд тоже сходящийся. Если выполняется условие (20), т.е. U_n > 1, то с возрастанием номера члена общий член ряда не может стремиться к 0. Т.е. нарушается необходимый признак сходимости ряда (или Т4), исходный ряд расходится.

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ КАШИ

Если при беспредельном увеличении номера n

=r, то при r<1 ряд сходящийся, а при r>1 он расходящийся

БИЛЕТ 8

#7

ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Т7

Если для ряда U₁+U₂+…+U_n с положительными членами, начиная с некоторого номера n, отношение последнего члена ряда к предыдущему члену становится меньше некоторого числа q<1, т.е.

(21), то ряд сходящийся

Если же, начиная с некоторого номера n, будет выполняться условие

, то ряд расходящийся

Доказательство

Отметим, что можно считать, что неравенства (21) и (22) справедливы для всех номеров n, т.е., согласно теореме 3, те члены ряда, для которых эти неравенства не выполняются, можно отбросить.

Рассмотрим случай, когда выполняется неравенство (21). Тогда Un<qUn_-1, где q < 1, для всех n, т.е. U₂ qU₁, и т.д. . Перемножим эти неравенства и тогда получим

Сокращая на , получим

,т.е. каждый член рассматриваемого ряда будет не превосходить соответствующего члена сходящейся геометрической прогрессии

…

Эта геометрическая прогрессия сходящаяся, т.к. q<1. Поэтому по Т5 рассматриваемый ряд тоже будет сходящимся.

Если же справедливо неравенство (22), то U_n>U_n-1, т.е. члены ряда будут стремиться к 0, т.е. будет нарушено необходимое условие сходимости ряда.

По теореме 4, ряд расходящийся

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ПРИЗНАКА ДАЛАМБЕРА

Если при бесконечном возрастании номера члена ряда U₁+U₂+…+U_n +… с положительными членами

=r, то при r<0 ряд сходится, а при r>0 ряд расходится

БИЛЕТ 9

#8

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КАШИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Рассмотрим ряд

U₁+U₂+…+U_n +…, члены которого положительны и не возрастают с увеличением номера члена, т.е.

U₁ U₂ … U_n-1 U_n …

Изобразим члены ряда графически, откладывая на оси ох n=1,2,3…, на оси оу U_n=U₁,U₂,U₃,…

| | | | | | (1;U₁), (2;U₂),(3;U₃),(4;U₄);(5;U₅)

Точки с такими координатами соединяем непрерывной плавной кривой y=f(x), причем, согласно условию, f(n)=U_n, т.е.

f(1)=U, f(2)=U₂, и т.д.

Интегральный признак Коши сходимости рядов с (+) членами.

Т8

Пусть члены ряда U₁ U₂ … U_n … не (-), т.е. ( и не возрастают с ростом номера члена, т.е. ( ) и стремятся к 0 при а f(x) – непрерывная функция, значения которой положительны, причем f(x)=a ( ). Тогда данный ряд сходится или расходится несобственный интеграл

| | | | | |

Доказательство: рассмотрим промежуток , тогда площадь кривой равна

Рассмотрим прямоугольники с единичными основаниями и высотами, равными левым ординатам, тогда сумма их площадей будет равна

Если у прямоугольников высота равна правой ординате, то сумма их площадей равна

Так как f(x)>0

Если интеграл сходящийся, то - конечная величина, тогда

, т.е. , т.е. частичная сумма ограничена

Т.к. , то , т.е. частичная сумма монотонно возрастает. По теореме Вейерштрасса

,

­т.е. ряд сходится и имеет сумму S.

Если же , т.е. интеграл расходящийся, то монотонно возрастающая частичная сумма , ряд не ограничен, т.е. ряд расходящийся

БИЛЕТ 10

#9

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

О4

Бесконечный ряд, члены которого попеременно (+) и (-) называется ЗНАКОПЕРЕМЕННЫМ

Если первый член ряда (-), то по теореме (3) его можно отбросить, а значит (1) член ряда всегда (+)

Т9

Для того, чтобы знакопеременный ряд сходился, достаточно, чтобы абсолютные величины его членов убывали с возрастанием номера члена и стремились к нулю. Остаток ряда по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов

Доказательство

Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

По условию т.е. , следовательно монотонно возрастает

т.е.

, следовательно - величина ограниченная

По теореме Вейерштарасса ограниченная монотонно возрастающая переменная имеет конечный предел

Рассмотрим

Т.к. по условию - , т.е. частичная сумма с любым членом имеет конечный предел S

Это обозначает, что знакопеременный ряд сходящийся и имеет сумму S

БИЛЕТ 11

#10

АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ

О5

Бесконечный ряд

, составленный из абсолютных величин его членов, сходится

Т10

Абсолютно сходящийся ряд сходится, т.е., если сходится ряд

сходится и исходный ряд

Доказательство

Обозначим

Если , то Если , то | =

Поэтому при

,

А при

Таким образом

| По условию, ряд сходится, следовательно, по теореме 5 и ряды

и – тоже сходятся

Т.к. , то по Т2 ряд

тоже сходится, т.к.сходящиеся ряды модно почленно складывать и вычитать

Таким образом, при исследовании сходимости рядов можно доказывать сходимость рядов, составленных из абсолютных величин

СЛЕДСТВИЕ признаки Коши и Даламбера можно сформулировать таким образом:

Если или , то при r<1 сходится, а при r>1 – расходится

БИЛЕТЫ 12, 13, 14

# 6 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ , sinx, cosх В РЯДЫ МАКЛОРЕНА

В предыдущей главе мы нашли разложение функции f(x) по степеням х-а, где а=const. Это ряд Тейлора, значит

f(x)= (x-a)ⁿ (9)

В частном случае а=0 получается РЯД МАКЛОРЕНА

f(x)= xⁿ=f(0)+ x+ x²+ +…+ xⁿ (10)

Формула Тейлора и Маклорена используется для вычисления значений функции. Т. е. при использовании этих формул вычисляемая функция сводится к 4 алгебраическим операциям: сложение, вычитание, умножение и деление.

Найдем разложение в ряды Маклорена функций:

, sinx, cosх

БИЛЕТ 12

# 6

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ , sinx, cosх В РЯДЫ МАКЛОРЕНА

В предыдущей главе мы нашли разложение функции f(x) по степеням х-а, где а=const. Это ряд Тейлора, значит

f(x)= (x-a)ⁿ (9)

В частном случае а=0 получается РЯД МАКЛОРЕНА

f(x)= xⁿ=f(0)+ x+ x²+ +…+ xⁿ (10)

Формула Тейлора и Маклорена используется для вычисления значений функции. Т. е. при использовании этих формул вычисляемая функция сводится к 4 алгебраическим операциям: сложение, вычитание, умножение и деление.

Найдем разложение в ряды Маклорена функций:

, sinx, cosх

1. f(x)= , f’(x)= , f”(x)= ,…f⁽ⁿ⁾(x)= .

f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=1, …f⁽ⁿ⁾(0)=1

Подставляя эти значения в формулу 10, получаем ряд Маклорена для функции

= =1+ + +…+ +… (11)

БИЛЕТ 13

# 6

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ , sinx, cosх В РЯДЫ МАКЛОРЕНА

В предыдущей главе мы нашли разложение функции f(x) по степеням х-а, где а=const. Это ряд Тейлора, значит

f(x)= (x-a)ⁿ (9)

В частном случае а=0 получается РЯД МАКЛОРЕНА

f(x)= xⁿ=f(0)+ x+ x²+ +…+ xⁿ (10)

Формула Тейлора и Маклорена используется для вычисления значений функции. Т. е. при использовании этих формул вычисляемая функция сводится к 4 алгебраическим операциям: сложение, вычитание, умножение и деление.

Найдем разложение в ряды Маклорена функций:

, sinx, cosх

2. f(x)=sinx, f’(x)=cosx, f”(x)=-sinx, f”’(x)=-cosx, (x)=sinx…

f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f”’(0)=-1, f^IV(0)=0, …

f⁽²ⁿ⁾(0)=0, f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)=(-1)ⁿ

Подставляя эти значения в формулу (10), получаем разложение sinx в ряд Маклорена.

sinx= = x - + - +… (12)

БИЛЕТ 14

# 6

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ , sinx, cosх В РЯДЫ МАКЛОРЕНА

В предыдущей главе мы нашли разложение функции f(x) по степеням х-а, где а=const. Это ряд Тейлора, значит

f(x)= (x-a)ⁿ (9)

В частном случае а=0 получается РЯД МАКЛОРЕНА

f(x)= xⁿ=f(0)+ x+ x²+ +…+ xⁿ (10)

Формула Тейлора и Маклорена используется для вычисления значений функции. Т. е. при использовании этих формул вычисляемая функция сводится к 4 алгебраическим операциям: сложение, вычитание, умножение и деление.

Найдем разложение в ряды Маклорена функций:

, sinx, cosх

3. f(x)=cosx, f’(x)=-sinx, f”(x)=-cosx, f”’(x)=sinx, f^IV(x)=cosx

f(0)=1, f’(0)=0, f”(0)=-1, f”’(0)=0, f^IV(0)=1, т.е.

f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)=0, f⁽²ⁿ⁾(0)=(-1)ⁿ

cosx = =1- + (13)

БИЛЕТ 15

# 4

ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Рассмотрим функцию е^ix, где i=

e^ix=1+

i²=-1, i³=-I, i⁴=1, i⁵=I, …

e^ix=1+ =(1- )+i(x- )=cosx+isinx

cos (-x)=cosx, sin (-x)=-sinx

e^ix=cosx-sinx

Получаем формулы Эйлера

(14)

e^ix+e^-ix=2cosx, e^ix-e^-ix=2isinx

получаем обратные формулы Эйлера

(15)

Как известно, комплексное число z можно представить в тригонометрической форме.

z=r(cos +isin ), где r – модуль z, , но, согласно формуле 14,это можно записать в виде

z= (16)

Мы получаем ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ ФОРМУЛУ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

БИЛЕТ 16

#11

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧИСЛА е

Как известно, функция раскладывается в ряд Маклорена

Полагая, что х=1, получаем ряд для числа е

, следовательно

, т.е.

2.718 253

= 0.000 025

2.718 253

0.000 003

2.718 281

e=2.718 281…

e=2.718 281 828…4…