Глава 5
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
БИЛЕТ 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ФУНКЦИЯХ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функции могут зависеть не от одной независимой переменной, от нескольких переменных. В простейшем случае эта функция , где независимые переменные х и у. Каждой упорядоченной паре значений <x;y> на плоскости XоY соответствует точка М с координатами <x;y> (М(x;y)) и тогда в каждой этой точке области определения функции D соответствует значение этой функции f(x;y) f(M).
Имеются функции 3х независимых переменных x, y, z, т.е. U=f(x;y;z), тогда область определения этой функции D – это некоторая область трехмерного пространства или же все трехмерное пространство.
В каждой точке M(x;y;z), принадлежащей этой области D, можно вычислить значение функции f(x;y;z) f(U)
Т.е. в общем случае мы имеем функцию
U=f(
Это функция n-независимых переменных а точка – точка n-мерного пространства
Область D – это некоторая область n-мерного пространства или все n-мерное пространство
Понятие предела функции обобщается на случаи любого числа независимых аргументов
Сформулируем определение предела функции 2-х независимых переменных
О1
Пусть функция определена и непрерывна в некоторой области D или во всем двухмерном пространстве , тогда пределом этой функции, при условии, что точка M(x;y) стремится к точке (т.е. называется такое постоянное число А, что выполняется условие: при любом положительном числе найдется такое положительное число , что из условий:|x- и следует неравенство . Это записывается в виде
или
Отметим, что при стремлении точки М к точке координаты этой точки х и у должны меняться таким образом, чтобы точка М (х;у) не выходила за пределы области определения D, а предельная точка должна находиться либо внутри области определения D, либо на ее границе | | | | | |
| | График функции 2-х переменных – поверхность 3-хмерного пространства над или под областью D (в зависимости от того – положительно или отрицательно значение этой функции).
Обобщим понятие предела функции на случай функции любого числа переменных
О1
Пусть функция определена и непрерывна в некоторой области или в n-мерном пространстве , тогда пределом этой функции при условии, что точка М( стремится к точке (т.е. , где k=1,2,3…n) называется такое постоянное число А, что выполняется условие: при любом положительном числе найдется такое положительное число , что из условий
Это записывается в виде или
Значения функции U=f( откладывается по (n+1) коорд. U, т.е. график этой функции представляет собой n-мерную гиперповерхность в n-мерном пространстве
БИЛЕТ 2
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
#2
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
О4
Если функция изменяется так, что приращение получает только одна из независимых переменных, т.е. , а остальные независимые переменные остаются постоянными, то разность между последующим значением функции и ее предшествующим значением называется ЧАСТНЫМ ПРИРАЩЕНИЕМ, соответствующим аргументу
(4)
В случае n=2 функция двух независимых переменных х и у имеет два частных приращения
(формулы 4’)
О5
Если при изменении функции меняются одновременно все независимые переменные, то разность между последующими значениями функции и ее предшествующим значением называется ПОЛНЫМ ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ, т.е.
(5)
При n=2
(5’)
О6
Предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной , при условии, что приращение стремится к 0, называется ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ функции по соответствующей независимой переменной
(6)
Согласно О6 функция n независимых переменных имеет n частных производных. В частности функция 2-х независимых переменных U=f(x;y) имеет 2 частных производных по х и по у.
(6’)
О7
Произведение частных производных функции по меняющейся независимой переменной на дифференциал этой переменной называется ЧАСТНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ функции, а сумма всех частных дифференциалов этой функции называется полным дифференциалом функции.
-полный дифференциал
Согласно О7
(7)
Для функции 2-х переменных дифференциал функции равен
(7’)
Найдем соотношение между полным приращением функции и ее частичными производными. Для простоты будем рассматривать функцию 2-х переменных.
Тогда полное приращение равно
Применяя к этим скобкам формулу Лагранжа, получаем, что
Будем считать, что частные производные непрерывны, тогда
Переменная величина, как известно, может быть представлена в виде суммы ее предела и б.м. величины, поэтому
, где - б.м. величина
, где - б.м. величина
Подставим эти выражения в формулу для и обозначим
, а также учтем, что согласно определению дифференциала аргумента, тогда получим, что
(8)
Но, согласно формуле (5)
, где б.м. (9)
Полное приращение функции отличается от ее полного дифференциала на б.м. величину
Таким образом, полное приращение и полный дифференциал можно считать приблизительно равными, т.е.
Это соотношение используется при обработке результатов экспериментов. #3
ЧАСТНЫЕ ПРИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1-ОГО ПОРЯДКА
Для простоты рассмотрим функцию 2-х переменных
. Эта функция имеет 2 части производных 1-го порядка, т.е.
;
Дифференцируя эти части производной по х и по у получаем части производной 2-го порядка.
При дальнейшем дифференцировании получаем частную производную 3-го порядка, а затем и частные производные более высоких порядков.
Это обобщается и на случай функций произвольного числа аргументов.
БИЛЕТ 3
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
#3
ЧАСТНЫЕ ПРИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1-ОГО ПОРЯДКА
Для простоты рассмотрим функцию 2-х переменных
. Эта функция имеет 2 части производных 1-го порядка, т.е.
;
Дифференцируя эти части производной по х и по у получаем части производной 2-го порядка.
При дальнейшем дифференцировании получаем частную производную 3-го порядка, а затем и частные производные более высоких порядков.
Это обобщается и на случай функций произвольного числа аргументов.
О8
Частные производные функции нескольких переменных по различным переменным называются СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.
Например, СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ называются производные 2-го порядка
,
отличающийся друг от друга порядком дифференцирования
Т1
Смешанные производные одного и того же порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования по различным переменным, равны друг другу.
Пример
БИЛЕТ 4
ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Рассмотрим дифференциалы высших порядков
Полный дифференциал 1-го порядка функции 2-х переменных равен
Дифференциал дифференциала 1-го порядка – это дифференциал 2-го порядка, т.е.
Дифференциал 3-го порядка – это дифференциал дифференциала 2-го порядка
Вычислим дифференциал 2-го порядка и исследуем его структуру
По теореме 1 смешанные производные равны, поэтому
Напишем эту формулу в символической форме
Это выражение легко обобщается на дифференциалы любого порядка, т.е. дифференциал n-го порядка от функции у
Аналогично выводятся формулы высших порядков для функции любого числа переменных
БИЛЕТ 5
#4
ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть функция зависит от 2-х промежуточных аргументов х и у, которые, в свою очередь, завися от основного аргумента t:
Получаем сложную функцию
f(
найдем ее производную по t, считая, что функции непрерывны
В #2 получаем формулу для полного приращения функции f(x;y):
где , . Разделим это равенство на
Пусть ,тогда по непрерывность функции будем иметь:
Но по определению производной
Вычисляя предел от левой и правой частей формулы (13) при получаем
(14)
Эту формулу можно записать так же в виде:
Пусть функции зависят от 2-х аргументов U и W, тогда формула (14) обобщается на случай частных производных :
15)
БИЛЕТ 6
#5
ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
О3
Функция называется неявной, если функциональная зависимость переменной у от х задана неявно, т.е. в виде уравнения f(x;y)=0 нерешенного относительно у.
Найдем производную неявной функции, используя формулу (14’)
Положим, что
, следовательно
Приравняем x=t, тогда
, следовательно по формуле (14’)
т.е. производная неявной функции равна
Если уравнение дает неявную функцию 2-х переменных. Тогда вместо формулы (16) получаем
(17)
(17)
БИЛЕТ 7
РЯДЫ ТЭЙЛОРА И МАКЛОРЕНА ДЛЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
#6
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 1 ПЕРЕМЕННОЙ В РЯД ТЭЙЛОРА
представим в виде разложения по степеням x-a, где а- const.
Входящую в это выражение постоянную нам нужной найти, для этого нужно последовательно дифференцировать эту функцию
n-факториал
1!=1
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
0!=1
Формула (18) – разложение функции y=f(x) в ряд Тэйлора
(18’)
Если a=0, то
(19)
Ряд 19 – ряд Маклорена (частичный случай ряда Тэйлора)
Представим формулу (18) в другом виде, а именно через формулы различных порядков
- приращение функции
’
(20)
Формула (20) дает соотношение между приращением функции и ее дифференциалами различных порядков
БИЛЕТ 8
ФОРМУЛА РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ТЭЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
#7
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В РЯД ТЭЙЛОРА
-точка в n-мерном пространстве
Тогда значение функции получается полным приращением, а каждая из координат своим приращением
Тогда формулу (20) можно обобщить на случай функции любого числа переменных и записать в виде
(21)
Рассмотрим простейший случай, функцию 2-х переменных
,тогда
, тогда
(22)
Если приращение аргументов малы, то их высшими степенями можно пренебречь. В формуле (22) ограничиться двумя первыми слагаемыми, а сумму оставить остальных слагаемых обозначить через бесконечно малую величину
Дифференциалы можно выразить через частные производные, т.е.
(23)
Перейдем в этой формуле от Декартовых к полярным
| | | | | | |
-прямоугольник
-гипотенузы
- катеты
т.е.
БИЛЕТ9
#8
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ(ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМОВ)
Найдем достаточные условия экстремумов функции двух переменных
Частная производная вычисляется при т.е. в этом случае функция считается функцией одной переменной х, а необходимое условие экстремума этой функции – равенство нулю ее производной, т.е.
Аналогично при вычислении частной производной по у считается, что , в этом случае – это функция одной переменной y
(26)
Решая систему уравнений (26) и (27), получим, что
подозрительная на экстремум
В дальнейшем будем предполагать, что функция f(x;y) имеет непрерывную частную производную в этой точке и в некоторой ее окружности.
Согласно определению экстремума в точке имеет место max, если f( при любых и , т.е.
В этой точке имеет место min, если f( при любых и , т.е.
(28)
Обозначим , ,
, где
Согласно формулам (27) и (28), если при всех достаточно малых значениях z , то - точка максимума, то точка минимума
Входящий в формулу (29) квадратный трехчлен отличается от при умножении на на бесконечно малую величину, поэтому знак этого трехчлена совпадает со знаком . Таким образом, если этот трехчлен отрицательный, то в точке имеет место max, а если он положителен, то в точке имеет место min. Если квадрат трехчлена при различных значениях сохраняет свой знак, но при некоторых значениях обращается в 0, то при этом значении , а знак бесконечно малой величины нам неизвестен.
Поэтому этот случай является сомнительным, т.е. мы не можем сказать, имеется ли в точке max или min или нет. Если же квадрат трехчлена при различных значениях меняет свой знак, то условия (27) и (28) не выполняется, т.е. в т экстремума нет
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
Рассмотрим 3 таких значения постоянных A,B и C, при некоторых имеет место тот или иной случай
1)Пусть А , AC- , тогда квадратный трехчлен можно представить в виде A =
Числитель является суммой 2-х положительных слагаемых, которые не обращаются в 0 одновременно. Знак этого выражения совпадает со знаком знаменателя А, следовательно, если A<0, то квадратный трехчлен отрицателен и имеет место max, если A>0, то квадратный трехчлен положителен и имеет место min
2)Пусть , , тогда если , то следовательно трехчлен равен , т.е. его знак совпадает со знаком А
трехчлен равен , но , ,т.е. трехчлен имеет знак, противоположный знаку А.
Таким образом, в этом случае, при изменении трехчлен меняет свой знак т.е. в этом случае экстремум отсутствует.
3) , тогда трехчлен имеет вид , он сохраняет свой знак, совпадающий со знаком постоянной А. Например , т.е. когда трехчлен выражается в 0. Следовательно, это сомнительный случай.
4)Пусть А=0, , тогда
(
Когда мало, то , но при т.е. квадратный трехчлен меняет свой знак с изменением . Это обозначает, что экстремум отсутствует.
5)Пусть А=0, В=0, ,тогда квадратный трехчлен равен . При , т.е. это сомнительный случай.
Таким образом:
Результат исследования функции двух переменных на экстремумы представляется в виде следующей функции
А-В2 |
+ |
- |
0 |
|
А |
+ |
- |
Любое А |
Люб А |
вывод |
min |
max |
Нет ни min, ни max |
Сомнительный случай |
БИЛЕТ 10
#8
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ (НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМОВ)
Найдем достаточные условия экстремумов функции двух переменных
Частная производная вычисляется при т.е. в этом случае функция считается функцией одной переменной х, а необходимое условие экстремума этой функции – равенство нулю ее производной, т.е.
Аналогично при вычислении частной производной по у считается, что , в этом случае – это функция одной переменной y
(26)
Решая систему уравнений (26) и (27), получим, что
подозрительная на экстремум
В дальнейшем будем предполагать, что функция f(x;y) имеет непрерывную частную производную в этой точке и в некоторой ее окружности.
Согласно определению экстремума в точке имеет место max, если f( при любых и , т.е.
В этой точке имеет место min, если f( при любых и , т.е.
(28)
Обозначим , ,
, где
Согласно формулам (27) и (28), если при всех достаточно малых значениях z , то - точка максимума, то точка минимума
Входящий в формулу (29) квадратный трехчлен отличается от при умножении на на бесконечно малую величину, поэтому знак этого трехчлена совпадает со знаком . Таким образом, если этот трехчлен отрицательный, то в точке имеет место max, а если он положителен, то в точке имеет место min. Если квадрат трехчлена при различных значениях сохраняет свой знак, но при некоторых значениях обращается в 0, то при этом значении , а знак бесконечно малой величины нам неизвестен.
Поэтому этот случай является сомнительным, т.е. мы не можем сказать, имеется ли в точке max или min или нет. Если же квадрат трехчлена при различных значениях меняет свой знак, то условия (27) и (28) не выполняется, т.е. в т экстремума нет
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
Рассмотрим 3 таких значения постоянных A,B и C, при некоторых имеет место тот или иной случай
1)Пусть А , AC- , тогда квадратный трехчлен можно представить в виде A =
Числитель является суммой 2-х положительных слагаемых, которые не обращаются в 0 одновременно. Знак этого выражения совпадает со знаком знаменателя А, следовательно, если A<0, то квадратный трехчлен отрицателен и имеет место max, если A>0, то квадратный трехчлен положителен и имеет место min
2)Пусть , , тогда если , то следовательно трехчлен равен , т.е. его знак совпадает со знаком А
трехчлен равен , но , ,т.е. трехчлен имеет знак, противоположный знаку А.
Таким образом, в этом случае, при изменении трехчлен меняет свой знак т.е. в этом случае экстремум отсутствует.
3) , тогда трехчлен имеет вид , он сохраняет свой знак, совпадающий со знаком постоянной А. Например , т.е. когда трехчлен выражается в 0. Следовательно, это сомнительный случай.
4)Пусть А=0, , тогда
(
Когда мало, то , но при т.е. квадратный трехчлен меняет свой знак с изменением . Это обозначает, что экстремум отсутствует.
5)Пусть А=0, В=0, ,тогда квадратный трехчлен равен . При , т.е. это сомнительный случай.
Таким образом:
Результат исследования функции двух переменных на экстремумы представляется в виде следующей функции
А-В2 |
+ |
- |
0 |
|
А |
+ |
- |
Любое А |
Люб А |
вывод |
min |
max |
Нет ни min, ни max |
Сомнительный случай |
БИЛЕТ 11
#9
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
О10
Если аргументы функции нескольких переменных независимы друг от друга, то экстремум такой функции называется АБСОЛЮТНЫМ, а если аргументы этой функции связаны некоторыми соотношениями, то экстремум такой функции называется ОТНОСИТЕЛЬНЫМ или УСЛОВНЫМ.
Рассмотрим функцию
m+n переменных
Пусть переменные связаны n-соотношениями
,где k=1,2,3,…,n
В дальнейшем для простоты записи мы не будем писать аргументы у функций
Можно считать, что первые m аргументов не зависят друг от друга, а последние аргументы зависят от 1-ых и эта зависимость выражена n-условиями (30).
Рассмотрим способ нахождения относительно экстремумов функции нескольких переменных, называемый СПОСОБОМ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
в такой точке формулы аргумент достигает относительного экстремума. Предполагая существование конечных частных производных в этой точке, получаем, что в этой точке частная производная 1-го порядка обращается в 0, следовательно, и ее полный дифференциал 1-го порядка тоже равен 0, т.е.
(31)
С другой стороны
Функция согласно формуле (30) равна 0, т.е. равна постоянной величине(const).
Умножим формулу (32) на множители и сложим их друг с другом и с формулой (31)
Получим
(33)
Множители называются МНОЖИТЕЛЯМИ ЛАГРАНЖА. Определим их из условия, что коэффициенты при дифференциалах аргументов , связанных друг с другом n соотношением (31), равны 0, т.е.
(34) при
Учитывая соотношения (34), получаем, что в формуле (33) остаются только члены, содержащие дифференциалы называемых переменных, т.е. получаем
(35)
Но дифференциалы независимых переменных – это произвольные их приращения. Поэтому, каждый из дифференциалов в формуле (35), кроме одного из них, можно положить равным 0. Тогда полагая S=1,2,…,m получим из формулы (35) m соотношения:
(36)
Объединяя формулы (34) и (360, получаем, что соотношение (37) справедливо при всех значениях индекса S=1,2,3,…,m+n
Таким образом, соотношения (30) и (37), в которых координаты точки заменены координатами точки , подозр. на экстремумы дают необходимое условие экстремума.
Введем вспомогательную функцию , тогда , т.е. соотношения (37) дают условия
, (S=1,2,…,m+n) (39)
К этим условиям добавляются соотношения (30)
Таким образом, нахождение относительного экстремума функции f сводится к нахождению абсолютного экстремума вспомогательной функции .