25. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных

ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФНП

Полным приращением функции двух переменных   в точке   называется выражение  .Предположим, что в точке   и некоторой ее окрестности функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка   и  . Выразим через них полное приращение  :

 (1) где  заключено между   и  ,   заключено между   и  , рис. 11.

Так как по предположению частные производные непрерывны, то:

        

(по связи функции, её предела и бесконечно малой),  где ₁  и ₂ – бесконечно малые при х0 и у0, то есть при  .

Таким образом, полное приращение   функции   выразилось следующим образом:

 (2)

Каждое из слагаемых ΙΙ является б.м. более высокого порядка малости относительно  . Действительно,

    при  .

Аналогично      +  при  .

Ι слагаемое – линейное относительно x и y, оно является главной частью полного приращения z.

Связь полного приращения фнп с ее полным дифференциалом

  (4)

При малых значениях приращений аргументов   и   справедливо приближенное равенство:  , погрешность которого  .                                            (5)

 

По аналогии с функцией одной переменной считается, что приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами:

х=dx,   y=dy,

поэтому формулу (3) для полного дифференциала функции

 

Для функции n независимых переменных А = А(a₁,a₂,…,a_n) формула для полного дифференциала имеет вид:

.

При этом   с погрешностью  , где  .

Достаточное условие дифференцируемости фнп

Если функция нескольких переменных имеет непрерывные частные производные первого порядка в некоторой точке своей ООФ, то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

 

Замечание

Наряду с полным дифференциалом ФНП часто рассматривают также ее частные дифференциалы:

если  , то  .

Очевидно, что полный дифференциал ФНП равен сумме ее частных дифференциалов:

для        .

Примеры (нахождения полного дифференциала ФНП)

1. 

Решение

.

Приложения полного дифференциала фнп

Полный дифференциал ФНП и его связь с полным приращением этой функции применяется, например:

1)    для приближенного вычисления значения ФНП,

2)    для вычисления погрешности ФНП, если известны погрешности ее аргументов.

Рассмотрим подробнее эти приложения.

1. Пусть требуется вычислить значение ФНП   в некоторой точке  , при этом значение функции в точке   считается легко. Тогда  , где  - это полное приращение функции u в точке  , вызванное приращениями  всех ее аргументов  . Так как для дифференцируемых ФНП можно считать, что  , то получается приближенная формула:

       (7)

где  , погрешность  .

Примеры (приближенного вычисления значений ФНП)

1. 

Решение

Погрешность счета  .

Ответ:  .

2. Вычисление погрешностей

Пусть требуется вычислить абсолютную и относительную погрешности значения функции   в точке  , если значения ее аргументов x и yизмерены или вычислены с погрешностями   и  .

Абсолютная погрешность обозначается   и вычисляется как модуль разности приближенного и точного значений u с последующей заменой полного приращения функции u на ее полный дифференциал:

максимальное значение абсолютной погрешности функции   вычисляется по формуле

,                                                            (8)

где  - это положительные максимальные погрешности аргументов.

Относительная погрешность обозначается  и вычисляется как отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения функции: ,      (9)

при этом в расчетах обычно берется 

26.

Если функция   имеет производную в точке  , а функция   имеет производную в точке  , то сложная функция

                                                     (1)

имеет производную (по  ) в точке   и справедливо равенство

                                                      (2)

или

.                                                             (3)

Зададим  , ему соответствует значение  . Придадим   приращение  , это вызовет приращение  . Так как функция   имеет производную в точке  , то на основании равенства (2) § 4.1, имеем

,                                               (4)

где   при  .

Будем считать, что  . Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т. к. если подставить в него  , то получится  .

Разделим теперь равенство (4) на  :

.                                               (5)

Пусть    стремится к нулю. Тогда  , потому что функция   имеет производную в точке   и, следовательно, непрерывна.

Переходим в равенство (5) к пределу при  . Тогда   и  , поэтому получим

.

Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если  ,  ,   и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то  .

П р и м е р  1.     .

Полагаем  ,  ,  . Тогда

.

П р и м е р  2.   .

Полагаем  . Тогда

.

Обычно при вычислениях вспомогательные переменные   не вводят, а только подразумевают их.

В случае примера 1 вычисления выглядят так:

.