23.Функции нескольких переменных, линия уровня функции двух переменных Функции нескольких переменных

1. Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). 

   z=f(x,y)

2. Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

3. Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции 

z=f(x+x, y+y)f(x,y)

Частное приращение функции 

x z=f(x+x)f(x,y)

y z=f(x,y+y)f(x,y)

Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений.

Пример. z=xy. 

x z=(x+x)yxy=yx

y z=x(y+y)xy=xy

z=(x+x)(y+y)xy=yx+xy+yx  y z+x z.

4. Непрерывность функции нескольких переменных

Предел функции.

Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности A(x₀,y₀).

Определение. Постоянное число b называют пределом z=f(x,y) при P(x,y) стремящемся к A, если для любого  > 0 можно указать такое значение  > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству AP < , имеет место неравенство f(x,y)b < .

5. Непрерывная функция

6. Частные производные

Линия уровня функции двух переменных

Линией уровня функции двух переменных называется геометрическое

место точек, в которых функция принимает одно и то же значение.

Линии уровня функции z = f(x, y) определяются уравнением f(x, y)=const.

24. Частнные производные функции двух переменных

Понятие функции двух переменных, а также понятия ее предела и непрерывности устанавливаются аналогично тому, как это делается для функции одного переменного. Частные производные функции z=f(x, у) определяются равенствами

где ?_хz и ?_уz - частные приращения функции, получаемые ею, когда изменяется лишь один из аргументов. Частные производные по каждому переменному отыскиваются по правилам, известным для функции одного аргумента, поскольку другой аргумент остается постоянным. Частные дифференциалы выражаются формулами

Полное приращение функции: ?z=f(x+?x; y+?y)-f(x, y). Пусть в окрестности фиксированной точки (х, у) при переходе от нее к любой другой точке (x+?x; y+?y) полное приращение ?z функции z=f(x, у) можно представить в виде

где А и В - постоянные (соответствующие фиксированной точке), а, α, β - бесконечно малые при ?х, ?y→0; тогда величина А?х+В?у называется полным дифференциалом функции z в точке (х, у) и обозначается через dz. Полный дифференциал функции z есть часть ее полного приращения ?z, линейная относительно приращений ?х, ?у независимых переменных. При малых ?х, ?у верно приближенное равенство dz≈?z.

Из существования полного дифференциала следует существование частных производных, причем

поэтому

Достаточное условие существования полного дифференциала dz в точке (х, у): функция г имеет в окрестности точки (х, у) частные производные ∂z/∂х, ∂z/∂y, непрерывные в самой точке (х, у). Функция, имеющая в данной точке полный дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Производные высших, порядков определяются так же, как для функции одного переменного. Производных второго порядка имеется четыре:

но если смешанные производные непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцирования, т. е.   так что остается лишь три различных производных. Различных производных третьего порядка оказывается четыре:

Вообще различных производных порядка n имеется n+1. Если z=f(u, v), где u=φ(х, у), v=ψ(x, у), т. е. если z есть сложная функция от х, у, причем все эти функции дифференцируемы в рассматриваемой точке, то частные производные отыскиваются по формулам

Если z=f(u, v), где u=φ(t), v=ψ(t), т. е. если z есть сложная функция одного аргумента t, то производная от z по t отыскивается по формуле

Из формулы для полного дифференциала видно, что

где 

Однако не всякое выражение такого вида является полным дифференциалом некоторой функции, но лишь такое, в котором выполняется условие ∂P/∂y=∂Q/∂x.

Функция f(х, у) имеет максимум или минимум в точке (х₁, у₁), если в этой точке выполняются условия

При этом частные производные   имеют одинаковые знаки: если обе они отрицательны, функция имеет максимум; если обе они положительны, функция имеет минимум. Функция двух переменных может иметь экстремум и в такой точке, где частные производные не существуют.

Если требуется найти максимум или минимум функции f(x, у), причем х и у связаны соотношением φ(x, у)=0, то вводится неопределенный множитель λ и рассматривается экстремум функции F(x, у, λ)=f(x, y)+λφ(x, у), так что для определения экстремальных точек и λ имеются три уравнения:

причем эти равенства выражают лишь необходимые условия максимума или минимума.

Можно установить понятие функции также трех и более переменных, ее частных производных и дифференциалов. Полный дифференциал функции трех переменных выражается формулой

Выражение вида Р(х, у, z)dx+Q(x, у, z)dy+R(x, у, z)dz лишь в том случае является полным дифференциалом некоторой функции, если выполняются условия