10. Интегрирование иррациональных функций

Интегралы типа   называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим обpaзoм: под радикалом выделить полный квадрат

и сделать подстановку х +b/2a=t. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.

Пример 1. Найти интегралы 

Решение: Так как, 

то

Cдeлаем подстановку x+1/4=t, x=t-1/4,dx=dt. Тогда

Пример 2. Найти интеграл 

Решение: Так как 6-2х-х²=-(х²+2х-6)=-((х+1)²-7)=7-(х+1)², то подстановка имеет вид х+1=t, х=t-1, dx=dt. Тогда

Интегралы типа   , где Р_n(х) - многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой

где Q_n-1(x) - многочлен степени n-1 с неопpедeлeнными коэффициентами,  - также неопределенный коэффициент.

 

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.

11. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.

Рассмотрим функцию   определенную и непрерывную на промежутке   . Очевидно, определение определенного интеграла на таком промежутке бессмысленно. Предположим, что данная функция   интегрируема на любом конечном промежутке вида [a, A]. Тогда интегралом от этой функции по бесконечному промежутку   назовем   . Обозначать этот интеграл будем как   . Таким образом

 =   (1)

Если этот предел существует, будем говорить, что интеграл   сходится, в противном случае - расходится.

Аналогично можно определить интегралы по промежуткам другого вида

 (2)

или

 (3)

Примеры

1. Вычислить интеграл   по бесконечному промежутку или установить его расходимость .

Решение. По несобственного интеграла   =  .

2. Вычислить интеграл   по бесконечному промежутку или установить его расходимость.

Решение. По определению несобственного интеграла

 =  , что означает, что интеграл расходится.

14. Объем тела вращения его вычисления

Площадь

S 

поверхности вращения отрезка, который не имеет общих внутренних точек с осью вращения, лежащей в одной плоско-сти с отрезком, равна произведению длины 

l

этого отрезка и длины окружности, радиус которой равен расстоянию 

p от середины отрезка до оси вращения 

Пример

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями  ,   вокруг оси   .

Ответ: 

15. Дифференциальное уравнение основные понятия

Дифференциальное уравнение называется соотношение вида связывающее независимую переменную х, ее ф-цию у, а также производные этой функции до н-го порядка включительно. если в уравнении 1 входит одна независимая переменная, то такое диф. ур. называется обыкновенным, если в уравнение 1 входит несколько независимых переменных, то такое диф. ур. называется уравнение в частных производных.  Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения 1 называется н-раз дифференцированная функция y=f(x), которая при подстановке в уравнение 1 обращает его в тождество. В простейшем случае определение функции y=f(x)  сводится к вычислению интеграла, а поэтому процесс нахождения решения диф. уравн. называется его интегрированием, а график ф-ции y=f(x) называется интегральной кривой диф. уравн. Т.к. при интегрировании функции получается множество решений, отличающихся друг от друга постоянным коэффициентом, то любое диф. уравн. также будет иметь множество решений, графически определяемых семейством интегральных кривых. Общим решением (общим интегралом) диф. уравн. н-го порядка называется его решение явно (неявно) выраженное относительно ф-ции у и содержащей н-независимых производных постоянных. Независимость констант СI означает, что ни одна из них не может быть выражена через остальные, а следовательно число этих констант не может быть уменьшено на единицу. Частным решением интеграла диф. уравн. н-го понрядка называется такое его решение, в котором произвольным константам Сi присвоены конкретные значения. это конкретные значения находятся из решения системы так называемых начальных условий В этой системе правые части равенства представляют собой некоторые константы. Диф. уравн н-го порядка Диф. уравн. 1-го порядка имеет вид.   Если уравн. 1 разрешить относительно производной y, то получают дифференциальное