- •3. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •4. Метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле
- •5. Определение интеграла его свойства
- •Свойства интеграла
- •6. Механический и геометрический смысл определенного интеграла
- •7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •8.Интегрирование рациональных дробей
- •9.Интеграл простейших рациональных дробей
- •10. Интегрирование иррациональных функций
- •14. Объем тела вращения его вычисления
- •15. Дифференциальное уравнение основные понятия
- •17. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
- •18. Понижение порядка дифференциального уравненияI. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно искомую
- •22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •20. Линейные уравнения второго порядка
- •21. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •23.Функции нескольких переменных, линия уровня функции двух переменных Функции нескольких переменных
- •Линия уровня функции двух переменных
- •24. Частнные производные функции двух переменных
- •25. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных
- •Связь полного приращения фнп с ее полным дифференциалом
- •Достаточное условие дифференцируемости фнп
- •Приложения полного дифференциала фнп
- •29. Экстремумы функции двух переменных
- •30. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим свойства линейного однородного уравнения второго порядка
, (2.1)
где и – действительные числа.
Теорема 1. Если число – вещественный корень уравнения характеристического уравнения
, (2.2)
то функция является решением уравнения (2.1).
Если числа и – комплексные корни уравнения (2.2), то функции и являются решениями уравнения (2.1).
Доказательство. Пусть ( ). Тогда , . Подставляя , и в уравнение (2.1), получаем
.
Так как ,то, сокращая на , имеем
.
Следовательно, если является корнем уравнения (2.2), то функция – решение уравнения (2.1). Аналогично доказывается и вторая часть теоремы.
Теорема 2. Если корни характеристического уравнения действительные и различные , то общее решение уравнения (2.1) имеет вид
.
Если корни характеристического уравнения действительные и равные , то общее решение (2.1) имеет вид
.
Если корни характеристического уравнения комплексные и . , то общее решение имеет вид
.
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Его корни , – действительные и различные. Следовательно, по теореме 2 общее решение имеет вид .
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Его корни , – действительные и равные. Следовательно, по теореме 2 общее решение имеет вид .
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Его корни и , – комплексные. Следовательно, по теореме 2 общее решение имеет вид .
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
, (2.3)
где и – действительные числа, – непрерывная функция. Для решения этого уравнения воспользуемся теоремой о структуре решения неоднородного уравнения, в соответствии с которой общее решение неоднородного уравнения имеет вид
, (2.4)
где – общее решение соответствующего однородного уравнения (1), – частное решение неоднородного уравнения (2.3).
Рассмотрим различные, особенно важные в естественных науках виды правой части уравнения (2.3).
1. Правая часть имеет вид , где . Тогда частное решение следует искать в виде , где – многочлен той степени, что и , – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
2. . Тогда частное решение уравнения (2.3) следует искать в виде , где – число корней характеристического уравнения, равных .
3. , где , и – известные числа. Тогда частное решение следует искать в виде , где – число корней характеристического уравнения, равных .
4. , где и – многочлены -ой и -ой степеней соответственно. Тогда частное решение следует искать в виде , где – число корней характеристического уравнения, равных , .
Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид , так как характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня . Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Найдём неизвестные коэффициенты и , вычислив , и подставив их вместе с в данное уравнение, получим . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства, находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .