Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение понятие производной. Дифференциал функции.

Правила дифференцирования суммы и произведения. Производная сложной функции. Производная отношения двух функций.

Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой. Односторонние производные.

Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма (необходимое условие экстремума для гладких функций), теоремы Ролля, Лагранжа, Коши-Лагранжа (формулировка).

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0, /.

Многочлен Тейлора для данной функции в данной точке. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (без док-ва).

Общий план исследования функций с помощью производных.

Определение асимптоты функции. Виды асимптот и способы их определения.

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Таблица первообразных. Основные формулы интегрирования.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Оценки определенного интеграла.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной

Понятие несобственного интеграла. Определение сходимости несобственного интеграла. Главное значение в смысле Коши. Пример о сходимости интегралов от степенных функций.

22. 1

Матричное исчисление. Матрица. Виды матриц. Арифметические действия над ними и их свойства. Транспонирование. Элементарные преобразования матриц. Матричная запись С.Л.У. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы линейных уравнений.

23. 2

Определители матриц. Решение С.Л.У. 2-го порядка. Определение перестановки, инверсии, порядка перестановки. Определитель n-го порядка. Примеры: определители 2-го,3-го порядков.

Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения элемента. Теорема о разложение определителя по строке (столбцу). Определители диагональных и треугольных матриц. Практические алгоритмы вычисления определителей.

Обратная матрица. Определение и свойства. Невырожденные матрицы. Союзная матрица. Теорема об обратной матрице. Правило Крамера. Ортогональные матрицы.

Системы линейных уравнений. Классификация С.Л.У. Матричная запись С.Л.У. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Решение квадратных систем методом Крамера.

Исследование произвольных С.Л.У. Ранг системы. Теорема Кронекера - Капелли. Алгоритм Гаусса решения произвольной С.Л.У. Базисный минор. Свободные и базисные переменные. Представление решение в базисной форме.

Построение обратной матрицы методом Гаусса. Решение систем с одинаковой матрицей коэффициентов.

Собственные числа и собственные вектора матрицы. Характеристический многочлен.

Понятие о векторном пространстве Rⁿ. Действия над векторами и их свойства. Понятие о линейной комбинации векторов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Признак линейной зависимости векторов. Свойства собственных векторов.

Квадратичные формы и их матрицы. Определение знакоопределенности квадратичных форм. Критерий Сильвестра (без док-ва). Следствие.