Линейные пространства и линейные операторы

Определение абстрактного векторного пространства. Основные понятия: линейная зависимость, независимость векторов, базис, разложение вектора по базису, координаты вектора.

Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису.

Линейное подпространство. Линейная оболочка векторов.

Линейный оператор и его матрица. Сумма и разность операторов и их матрица. Тождественный оператор.

Образ и ядро, ранг, дефект линейного оператора. Пример: оператор проектирования.

Обратный оператор, его матрица. Теорема о необходимых и достаточных условиях невырожденности оператора.

Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

Аксиомы скалярного произведения в векторном пространстве. Гильбертово пространство. Система ортогональных векторов. Теорема о линейной независимости ортогональной системы.

Алгоритм ортогонализации.

Приведение к диагональному виду матрицы линейного оператора с простым спектром.

Нормированное пространство. Определение нормы вектора. Унитарное пространство. Норма в гильбертовом пространстве.

Эрмитовы матрицы. Сопряженный оператор, его матрица. Свойства собственных чисел и векторов самосопряженного оператора.

Унитарные, ортогональные и эрмитовы операторы и их матрицы.

Основные понятия теории множеств: множество, элемент. Операции над ними.

Последовательность. Предел последовательности. Примеры.

Теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности. Примеры.

Предел функции в точке на языке . Предел функции в точке на языке U_U_. Предел функции в точке на языке последовательностей. Теорема об эквивалентности 3-х определений предела (формулировка).

Основные теоремы о пределах функций об арифметических операциях над пределами, о сжатой переменной

Замечательные пределы.

Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теорема о связи между ними. Эквивалентные бесконечно малые (большие). Определение о-малых.

Определение непрерывности. Непрерывность элементарных функций. Теореме о вложенных отрезках. Свойства непрерывных функций на отрезке: 1-я 2-я теоремы Больцано–Коши, теоремы Вейерштрасса.

Классификация точек разрыва: разрывы I-го, II-го рода, устранимые разрывы.