Химфак. 2-й курс. Вопросы к экзамену IV-го семестра по курсу высшей математике. Вопросы по материалу IV-го семестра Ряды

Понятие числовой последовательности и числового ряда Общий член ряда. Способы задания числовой последовательности и ряда. Частичная сумма ряда. Остаток ряда. Сходимость ряда. Сумма ряда.

Необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Действия над числовыми рядами.

Классификация числовых рядов.

Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки сравнения и эквивалентности, признак Даламбера и радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Сходимость обобщенных гармонических рядов.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница условной сходимости. Формулировка признаков Абеля и Дирихле. Теорема Абеля о сумме условно сходящегося ряда.

Понятие о функциональной последовательности и функциональном ряде. Поточечная сходимость и равномерная сходимость числовых последовательностей и рядов. Сумма функционального ряда.

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса (с док-вом).

Теорема о свойствах равномерно сходящихся функциональных рядов (без док-ва).

Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда.

Теоремы о вычислении радиуса сходимости. Дифференцировании и интегрировании степенного ряда.

Теорема о ряде Тейлора (без док-ва). Основные разложения в ряд Тейлора. Применение степенных рядов для приближенных вычислений значений функций, вычислений пределов, определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений.

Ортонормированные системы функций: sin nx,cos nx: определение скалярного произведения функций, ортогональности и нормы.

Тригонометрические многочлены и ряды. Ряд Фурье функции на интервале [-;] и ее периодическое продолжение. Теорема о единственности коэффициентов ряда Фурье для произвольной функции на интервале [-;].

Теоремы о поточечной, равномерной сходимости ряда Фурье и об оценке коэффициентов ряда Фурье. Коэффициенты для четной и нечетной функции.

Понятие о сходимости в среднем.

Разложение в ряд Фурье на произвольном интервале.

Определение интеграла, зависящего от параметра. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра.

Определение равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса (с док-вом). Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов.

Интеграл Фурье как предельный случай рядов Фурье.

Комплексная форма интеграла Фурье.

Формулы преобразования Фурье и обращения преобразования Фурье.

Определение и свойства интегрального преобразования Лапласа и применение его к решению дифференциальных уравнений