Лекция 8. Нелинейные радиотехнические цепи
Понятие безынерционного нелинейного элемента. Аппроксимация вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Нелинейные цепи и особенности их применения в радиоэлектронике. Основы цифровой обработки сигналов. Цифровые фильтры.
Как уже упоминалось ранее, наличие в составе цепи хотя бы одного элемента с нелинейной ВАХ делает нелинейной всю цепь. Нелинейные цепи описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений, их решение значительно сложнее, чем линейных. Поэтому для упрощения вычислений часто используют различные виды аппроксимации нелинейных ВАХ.
Нелинейный элемент считается безынерционным, если сигнал на его выходе определяется только текущим мгновенным значением входного сигнала и не зависит от предыдущего состояния. Реальные нелинейные элементы (например, диоды или транзисторы) можно считать безынерционными, если их паразитные емкости и индуктивности пренебрежимо малы. На практике это зависит от рабочей частоты цепи. При малых частотах паразитные реактивности не сказываются на работе нелинейного элемента, но с ростом частоты их влияние становится все заметнее.
Рассмотрим основные способы аппроксимации ВАХ.
1. Кусочно-линейная аппроксимация (линеаризация).
В этом случае реальная ВАХ заменяется отрезками прямых, т.е. на каждом отдельном участке нелинейный элемент заменяют линейным, определяемым так называемым дифференциальным сопротивлением.
Простейший вариант – наличие двух участков кусочно-линейной ВАХ (рис. 8.1). До некоторого напряжения Uн ток равен нулю, а после этого линейно возрастает с некоторой крутизной S:
i(u) =
(8.1)
2. Полиномиальная аппроксимация.
Кусочно-линейная аппроксимация пригодна лишь при больших амплитудах сигнала. При незначительных изменениях амплитуды используют степенную аппроксимацию в окрестности рабочей точки A при напряжении U0 (рис. 8.2).
Нелинейную функцию i = f(u) в окрестности точки А можно представить в виде ряда Тейлора:
i(u) = a0 + a1(u – U0) + a2(u – U0)2 + a3(u – U0)3 + ... (8.2)
Коэффициенты an
=
.
Погрешность аппроксимации уменьшается с ростом числа слагаемых ряда.
Очевидно, что кусочно-линейную аппроксимацию можно рассматривать как частный случай степенной при n = 1.
3. Показательная и логарифмическая аппроксимация.
В ряде случаев используют показательную и логарифмическую функции.
Обобщенная формула для показательной аппроксимации
i(u) = i0 ua.
Логарифмическая аппроксимация описывается обобщенным выражением
i(u) = i0 loga(u).
4. Экспоненциальная аппроксимация.
Часто встречается на практике, например, ВАХ полупроводникового диода описывают выражением
i(u) = I0[exp (u/т) – 1],
где т = 25 мВ – так называемый тепловой потенциал.
5. Специальные виды аппроксимации.
При необходимости применяют специальные виды аппроксимирующих функций, например многочлены Чебышева, функции Уолша и др.
Пример 8.1. Рассмотрим преобразование спектра сигнала безынерционным нелинейным элементом с кусочно-линейной ВАХ.
Пусть характеристика нелинейного элемента описывается выражением (8.1)
i(u) =
На вход подан сигнал вида
uвх(t) = U0 + Umcos(f0t+0).
Найти спектральный состав выходного тока.
Решение.
Представим для наглядности вольт-амперную характеристику нелинейного элемента и соответствующие эпюры входного и выходного сигналов (рис. 8.3).
Из рис. 8.3 видно, что выходной сигнал представляет собой периодическую последовательность косинусоидальных импульсов длительностью t0. период следования импульсов совпадает с периодом входного сигнала Т0.
Введем новую величину
= t0/Т0,
называемую углом отсечки.
Итак, угол отсечки – это половина интервала времени (выраженного в радианах или градусах) в течение которого через нелинейный элемент протекает ток. Угол отсечки удобен, поскольку его величина зависит только от соотношения между Uн , U0 и Um , а не от частоты входного сигнала:
= arccos [(Uн – U0)/ Um]. (8.3)
Как было указано ранее спектр последовательности косинусоидальных импульсов содержит бесконечное число составляющих на частотах кратных f0.
Найдем амплитуды этих спектральных составляющих. Опуская промежуточные преобразования, сразу приведем окончательные результаты:
I0 = S Um 0() = Im 0();
I1 = S Um 1() = Im 1();
I2 = S Um 2() = Im 2(); (8.4)
...
In = S Um n() = Im n().
Здесь n() и n() – функции Берга, показывающие зависимость амплитуды n-й гармоники спектра выходного сигнала от амплитуды напряжения (или тока) входного синусоидального сигнала.
Приведем общие выражения для вычисления функций Берга для n 2
n()
=
,
n() = n()/(1–cos). (8.5)
Практическое значение рассмотренного примера состоит в возможности оптимизации режимов работы нелинейных элементов в резонансных усилителях и умножителях частоты.
Существует эмпирическая формула для оптимального угла отсечки:
опт = 2/3n, (8.6)
где n – номер гармоники.
Если необходимо обеспечить максимум первой гармоники выходного сигнала (режим резонансного усиления), то угол отсечки следует выбирать равным = 120.
В режиме умножения частоты, когда необходимо получить максимум второй гармоники, = 60, для третей гармоники = 40.
Пример 8.2.
Пусть ВАХ нелинейного элемента описывается выражением вида (8.2)
i(u) = a0 + a1(u – U0) + a2(u – U0)2 + a3(u – U0)3 + ...
Входной сигнал аналогичен примеру 8.1, но для упрощения положим начальную фазу равной нулю:
uвх(t) = U0 + Umcos(f0t).
Решение.
Если в (8.2) подставить u = uвх и выполнить тригонометрические преобразования, то можно получить следующие результаты:
i(u) = I0 + I1cos f0t + I2cos2 f0t + I3cos3 f0t + ...
Здесь
I0 = a0 + (1/2)a2Um2 +(3/8) a4Um4 + ...
I1 = a1Um + (3/4)a3Um3 +(5/8) a5Um5 + ...
I2 = (1/2)a2Um2 +(1/2) a4Um4 + ...
I3 = (1/4)a3Um3 +(5/16) a5Um5 + ...
...
Анализируя полученные выражения можно сделать основные выводы.
1. Амплитуды четных гармоник зависят от четных степеней разложения, нечетных гармоник – от нечетных степеней.
2. Амплитуда n-й гармоники зависит от членов разложения порядка n и более, и не зависит от членов меньшего порядка.
3. Наивысшая гармоника в спектре тока определяется максимальной степенью аппроксимирующего полинома.
Пример 8.3. Рассмотрим воздействие произвольного сигнала на нелинейный элемент с ВАХ аппроксимированной полиномом (8.2).
Решение.
Входной сигнал произвольной формы можно разложить в ряд Фурье:
uвх(t)
= U0 +
.
Опуская громоздкие преобразования приведем общее выражение для выходного сигнала:
uвых(t)
=
.
Введем обозначение N = l+k – порядок комбинационной частоты.
При N = 1 в спектре выходного сигнала присутствуют кратные частоты f1, f2, f3, f4 и т.д.
При N = 2 в спектре выходного сигнала присутствуют кратные частоты 2f1, 2f2, 2f3 и т.д., а также комбинационные частоты вида fn fm
При N = 3 в спектре выходного сигнала присутствуют кратные частоты 3f1, 3f2, 3f3 и т.д., а также комбинационные частоты вида 2fn fm и fn 2fm.
. . . и т.д.
Широкие возможности линейной и нелинейной обработки сигналов обеспечивают цифровые фильтры.
На рис. 8.4 приведена обобщенная структурная схема цифрового устройства обработки сигналов.
Входной аналоговый сигнал поступает на АЦП (см. рис. 4.8) и преобразуется в исходную кодовую последовательность X. Множество отсчетов сигнала {xi} запоминается в оперативном запоминающем устройстве (ОЗУ) и обрабатывается в арифметико-логическом устройстве (АЛУ). Промежуточные результаты хранятся в ОЗУ и во внутренних регистрах (Р) цифрового процессора (ЦП), команды поступают из постоянного запоминающего устройства (ПЗУ), здесь же хранятся необходимые константы. ЦП реализует предусмотренный алгоритм линейной или нелинейной фильтрации. Результирующая кодовая последовательность Y передается в ЦАП, где преобразуется в аналоговый сигнал. Для окончательного формирования выходного сигнала служит формирующий фильтр (ФФ). Синхронизацию работы всех цифровых элементов обеспечивает тактовый генератор (ТГ). Для повышения точности аналого-цифрового преобразования предусмотрен источник опорного напряжения (ИОН).
Существуют две основные разновидности цифровых фильтров:
1. Трансверсальные или КИХ-фильтры.
2. Рекурсивные или БИХ-фильтры.
Сигнал на выходе трансверсального фильтра зависит от текущего и предыдущих значений сигнала на его входе. Импульсная характеристика такого фильтра содержит конечное число отсчетов.
На вход рекурсивного фильтра поступает не только текущее и предшествующие значения входного сигнала, но и предшествующие значения сигнала на выходе, т.е. реализуется обратная связь. Число отсчетов импульсной характеристики рекурсивного фильтра бесконечно. Рекурсивные алгоритмы, реализуемые цифровыми фильтрами, в аналоговых системах, как правило, невозможны.