Національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут”

^{(назва вищого навчального закладу)}

Факультет ФМФ семестр 6

Навчальний предмет Теорія функцій комплексної змінної

Екзаменаційний білет № 1

1. Означення похідної функції комплексної змінної. Означення диференційованої (моногенної), аналітичної функції. Необхідна та достатня умова диференційованості: формулювання та доведення. Умова Коші-Рімана (Даламбера-Ейлера).

2. Означення лишку у нескінченно віддаленій точці. Обчислення таких лишків. Узагальнення основної теореми про лишки: формулювання та доведення.

3. Нехай - дві пари спряжених гармонічних функцій в області D, причому . Довести, що .

4. Знайти особливі точки функції , встановити їх тип, обчислити лишки.

5. Розв’язати інтегральне рівняння .

Затверджено на засіданні кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей

протокол № 10 від „14” травня 2008 р.

Зав. кафедри Булдигін В.В. Екзаменатор Горленко С.В.

Національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут”

^{(назва вищого навчального закладу)}

Факультет ФМФ семестр 6

Навчальний предмет Теорія функцій комплексної змінної

Екзаменаційний білет № 2

1. Геометричний зміст модуля та аргументу похідної функції комплексної змінної. Поняття про конформні відображення 1-го та 2-го роду, приклади.

2. Означення логарифмічного лишку функції відносно контуру. Теорема про зв’язок логарифмічного лишку функції з кількістю її нулів та полюсів в області: формулювання та доведення.

3. Функцію розвинути в ряд Лорана в околі особливої точки . Вказати область збіжності отриманого ряду та знайти .

4. Обчислити .

5. Розв’язати задачу Коші: .

Затверджено на засіданні кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей

протокол № 10 від „14” травня 2008 р.

Зав. кафедри Булдигін В.В. Екзаменатор Горленко С.В.

Національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут”

^{(назва вищого навчального закладу)}

Факультет ФМФ семестр 6

Навчальний предмет Теорія функцій комплексної змінної

Екзаменаційний білет № 3

1. Дробово-лінійна функція комплексної змінної: означення та доведення кругової властивості.

2. Принцип аргументу: формулювання та доведення. Знаходження кількості нулів аналітичної в області функції.

3. Обчислити , де .

4. Знайти всі можливі виду розвинення функції в ряд Лорана ( ) та вказати області в яких ці розвинення справедливі.

5. Розв’язати інтегральне рівняння: .

Затверджено на засіданні кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей

протокол № 10 від „14” травня 2008 р.

Зав. кафедри Булдигін В.В. Екзаменатор Горленко С.В.

Національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут”

^{(назва вищого навчального закладу)}

Факультет ФМФ семестр 6

Навчальний предмет Теорія функцій комплексної змінної

Екзаменаційний білет № 4

1. Означення симетричних відносно кола точок та доведення властивості симетрії дробово-лінійної функції.

2. Теорема Руше: формулювання та доведення. Наслідок: основна теорема вищої алгебри (формулювання та доведення).

3. Обчислити .

4. Нехай - ізольована особлива точка для . Довести, що якщо в деякому околі точки , то ця точка є усувною (Вказівка: розглянути допоміжну функцію .

5. Розв’язати задачу Коші: , де .

Затверджено на засіданні кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей

протокол № 10 від „14” травня 2008 р.

Зав. кафедри Булдигін В.В. Екзаменатор Горленко С.В.

Національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут”

^{(назва вищого навчального закладу)}

Факультет ФМФ семестр 6

Навчальний предмет Теорія функцій комплексної змінної