4. Расчет длинных стержней на сжатие с обеспечением их устойчивости.
Формула Эйлера для
определения критической силы. Для
нахождения критических напряжений
надо
вычислить критическую силу
,
т. е. наименьшую осевую сжимающую силу,
способную удержать в равновесии слегка
искривленный сжатый стержень.
Р
ассмотрим
прямой стержень постоянного сечения,
шарнирно опертый по концам; одна из опор
допускает возможность продольного
перемещения соответствующего конца
стержня (рис.3). Собственным весом стержня
пренебрегаем.
Нагрузим стержень центрально
приложенными продольными сжимающими
силами
и
дадим ему весьма небольшое искривление
в плоскости наименьшей жесткости;
стержень удерживается в искривленном
состоянии, что возможно, так как
.
Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:
Возьмем сечение на
расстоянии х
от начала координат; ордината изогнутой
оси в этом сечении будет у,
а изгибающий момент равен
По исходной
схеме изгибающий момент получается
отрицательным, ординаты же при выбранном
направлении оси у
оказываются положительными. (Если бы
стержень искривился выпуклостью книзу,
то момент был бы положительным, а у
— отрицательным и
.)
Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:
деля
обе части уравнения на EJ
и обозначая дробь
через
приводим
его к виду:
Общий
интеграл этого уравнения имеет вид:
Это решение заключает в
себе три неизвестных: постоянные
интегрирования а
и b
и значение
,
так как величина критической силы нам
неизвестна. Краевые условия на концах
стержня дают два уравнения: в точке А
при х =
0 прогиб у
= 0, В х =
1 у
= 0. Из первого условия следует (так как
и
cos kx
=1) 0 = b. Таким
образом, изогнутая ось является синусоидой
с уравнением
Применяя второе условие,
подставляем в это уравнение у
= 0 и х
= l получаем:
Отсюда следует, что или а
или kl
равны нулю. Если а
равно нулю, то из
уравнения (2) следует, что прогиб в любом
сечении стержня равен нулю, т. е. стержень
остался прямым. Это противоречит исходным
предпосылкам нашего вывода. Следовательно,
sin kl
= 0, и величина
может
иметь следующий бесконечный ряд значений:
где
—
любое целое число.
Отсюда
,
а так как
то
и
Иначе говоря,
нагрузка, способная удержать слегка
искривленный стержень в равновесии,
теоретически может иметь целый ряд
значений. Но так как отыскивается, и
интересно с практической точки зрения,
наименьшее значение осевой сжимающей
силы, при которой становится возможным
продольный изгиб, то следует принять
.
Первый корень
=0
требует, чтобы
было
равно нулю, что не отвечает исходным
данным задачи; поэтому этот корень
должен быть отброшен и наименьшим корнем
принимается значение
.
Тогда получаем выражение для критической
силы:
Проверка сжатых стержней на устойчивость.
Ранее было отмечено, что для сжатых стержней должны быть произведены две проверки:
на прочность
где
на устойчивость
где
Для установления допускаемого напряжения на устойчивость нам остается теперь выбрать только коэффициент запаса k.
На практике этот коэффициент колеблется для стали в пределах от 1,8 до 3,0. Коэффициент запаса на устойчивость выбирается выше коэффициента запаса на прочность, равного для стали 1,5 — 1,6.
Это объясняется наличием ряда обстоятельств, неизбежных на практике (начальная кривизна, эксцентриситет действия, нагрузки, неоднородность материала и т. д.) и почти не отражающихся на работе конструкции при других видах деформации (кручение, изгиб, растяжение).
Для сжатых же
стержней, ввиду возможности потери
устойчивости, эти обстоятельства могут
сильно снизить грузоподъемность стержня.
Для чугуна коэффициент запаса колеблется
от 5,0 до 5,5, для дерева — от 2,8 до 3,2.
Чтобы установить связь между
допускаемым напряжением на устойчивость
[
]
и допускаемым напряжением на прочность
[
],
возьмем их отношение:
или
Обозначая
получим:
здесь
—
коэффициент уменьшения основного
допускаемого напряжения для сжатых
стержней.
БИЛЕТ № 22