12.Классическоеи статическое определениевероятности

По классическому определению вероятность случайного события Р(А) равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов, составляющих пространство элементарных событий, т.е.

Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчету элементов того или иного множества и часто оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма трудной.

Классическое определение оправдано, когда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых происходит эксперимент, и вследствие этого симметрии исходов испытания, что приводит к понятию "равновозможности" исходов.

Например. Если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпадение любой из ее граней считается равновозможным исходом.

. Основные свойства вероятности

1) Для каждого случайного события А определена его вероятность, причем .

2) Для достоверного события U имеет место равенство P(U)=1.

Свойства 1 и 2 следуют из определения вероятности.

3) Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в частном случае (для несовместных событий).

4) Для произвольных событий А и В Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в общем случае.

5) Для противоположных событий А и имеет место равенство .

Кроме этого, вводится невозможное событие, обозначенное , которому не способствует ни один исход из пространства элементарных событий. Вероятность невозможного события равна 0, P( )=0 .

13.Свойства вероятностей

Свойство 1. Если можно вычислить возможности возникновения события А и их число совпадает общим числом равновозможных событий, то вероятность события А равна 1.

Например, при бросании игральной кости число возможностей выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 равно 6. Насчитывается также 6 равновозможных несовместимых событий. Таким образом, M = N  и

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Если число возможностей события А равна 0, то и

Например, при бросании игральной кости не может выпасть число 9, потому что такого числа нет на гранях игральной кости.

Свойство 3. Вероятность случайного события всегда больше 0 и меньше 1:

или

14.Теорема сложения и умножения вероятностей

Объединением (суммой) двух событий А и В называется событие D , происходящее тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В: D = A + B Пересечением (произведением) двух событий C и D называется событие F, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события C и D: F = C · D

Пример 4.1

Пусть А, В, С, D – четыре события пространства Ω исходов эксперимента. Выразите через А, В, С, D следующие события: а) наступают все четыре события; б) наступает хотя бы одно из событий.

решениеа) A∩B∩C∩D = A·B·C·D (пересечение) б) A∪B∪C∪D = A + B + C + D (объединение) Пункт б) можно решить и другим способом, через противоположное событие. Сначала выразим событие «ни одно из событий не наступает»:

Тогда событие «наступает хотя бы одно из событий», которое является противоположным предыдущему, можно выразить так:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример 4.2

Бросается игральная кость (один раз). Найти вероятность того, что выпадет 3 очка или 5 очков.

Показать решениеУ кубика 6 граней, вероятность выпадения каждой из граней одинакова и равна 1/6. P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появления.

Показать решение

15. Предположим, что событие может осуществляться только с одним из несовместных событий . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий в разном количестве. Существует разная вероятность выпуска некачественной продукции на разных предприятиях. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события — это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

Формула носит название формулы полной вероятности.

Пример. Для рассмотренного выше случая с поступлением товара в магазин от трех предприятий зададим численные значения. Пусть от первого предприятия поступило 20 изделий, от второго — 10 изделий и от третьего — 70 изделий. Вероятности некачественного изготовления изделия на предприятиях соответственно равны 0,02; 0,03 и 0,05.

Определить вероятность взятия некачественного изделия.

Решение. Вероятности событий будут равны P(А1) = 0,2; P(А2) = 0,1; P(А3) = 0,7. Используя формулу, находим

P(B) = 0,2?0,02 + 0,1?0,03 + 0,7?0,05 = 0,042.