- •§ 6. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Разбор типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 7. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
- •Разбор типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 8. Линейные неоднородные уравнения и системы с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •Разбор типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
Разбор типовых примеров
Пример 1. Найти все решения уравнения:
а) б)
в) г)
Решение. а) Сначала решим однородное уравнение. Его характеристическое уравнение: Корни: Поэтому Имеем: поэтому Далее, (степень многочлена (так как не является корнем характеристического уравнения). Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде т.е. Продифференцируем эту функцию: Подставим в исходное уравнение: Приравняв коэффициенты при и свободные члены в левой и правой частях равенства, получим: Отсюда Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно Прибавив к этому решению все решения однородного уравнения, получим ответ:
б) Найдём общее решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение: Его корни: Значит, Будем искать частные решения уравнений:
Пусть сначала Тогда Значит, Подставим в уравнение Следовательно,
Пусть теперь Тогда поэтому Отсюда следует вид частного решения уравнения: Имеем:
Подставим в уравнение
Отсюда: Таким образом,
Наконец, рассмотрим уравнение Здесь поэтому Имеем: Подставим в уравнение Отсюда получаем систему: Решение системы: Следовательно,
Так как то окончательный ответ выглядит так:
в) Решаем однородное уравнение Его характеристическое уравнение: Отсюда Поэтому Неоднородное уравнение разобьём на два: и
Для уравнения имеем: поэтому Продифференцируем: Подставим в уравнение Приравнивая коэффициенты при получим систему Её решение: Следовательно,
Для уравнения Поэтому Дифференцируем: Подставляем в уравнение
Упростим: Отсюда Следовательно, Прибавив к сумме общее решение однородного уравнения, получим ответ:
г) Решим однородное уравнение Его характеристическое уравнение: Корни: Следовательно, Здесь поэтому Так как то Так как не является корнем характеристического уравнения, то Таким образом, частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
Дифференцируем:
Подставим в исходное уравнение:
После упрощения получим: Отсюда Таким образом, Прибавив к этой функции общее решение однородного уравнения, получим ответ:
Пример 2. Написать вид частного решения неоднородного уравнения с неопределёнными коэффициентами, при этом коэффициенты не находить:
а)
б) в)
Решение. а) Характеристическое уравнение однородного уравнения: Его корни: В правой части уравнения стоят функции
Для функции имеем: Поэтому
Для функции имеем: Поэтому
Для функции имеем: Поэтому
Таким образом,
б) Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет вид откуда Имеем: Следовательно,
в) Характеристическое уравнение однородного уравнения: т.е. Его корни:
Для уравнения имеем: поэтому
Для уравнения имеем: поэтому
Таким образом,
Пример 3. Решить систему:
а) б)
Решение. Запишем систему в матричном виде: Характеристическое уравнение однородной системы имеет вид т.е. Его корни: Составим систему алгебраических уравнений для нахождения собственных векторов.
Для имеем систему откуда получаем собственный вектор
Для имеем систему откуда
Значит,
Перейдём к решению неоднородной системы. Её разобьём на две системы.
Для системы имеем: поэтому Продифференцируем эту вектор-функцию: Подставим в систему
Упростим: Приравнивая коэффициенты многочленов в правой и левой частях равенства, получим:
Решением этой системы служит, например, следующий набор чисел: Следовательно,
Для системы имеем: поэтому Продифференцируем: Подставим в систему Отсюда следует, что
Для коэффициентов получается система линейных алгебраических уравнений: Решение системы: Следовательно, Складывая частные решения с общим решением однородной системы, получим ответ:
(б) Вначале решим однородную систему Характеристическое уравнение: Его корни: Собственные векторы: для для Общее решение однородной системы: Перейдём к решению неоднородной системы. Имеем: Поэтому частное решение неоднородной системы следует искать в виде Подставим в неоднородную систему: Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений: Её решение: Значит, Таким образом, общее решение системы имеет вид
Пример 4. Решить интегральное уравнение
Решение. Продифференцируем уравнение
Продифференцируем ещё раз:
Решение однородного уравнения имеет вид Частное решение однородного уравнения ищем в виде После подстановки в уравнение находим коэффициент Оказывается, что Следовательно, общее решение уравнения имеет вид
Продифференцируем это равенство:
Из равенства получаем: Подставим в равенство Отсюда Из уравнения при получаем: Подставим в равенство Следовательно, Подставив найденные значения в равенство получим окончательный ответ: