Разбор типовых примеров

Пример 1. Найти все решения системы

Решение. Составим характеристическое уравнение: Его корни: Найдём собственные векторы из системы Для имеем: откуда Для имеем: откуда

Таким образом, общее решение системы имеет вид

Пример 2. Найти решение системы удовлетворяющее начальному условию

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни Для имеем систему Её ненулевое решение: Для имеем систему Её ненулевое решение: Наконец, для имеем: Её ненулевое решение: Таким образом, общее решение системы имеет вид Подставим в это равенство и воспользуемся начальным условием. Тогда будем иметь

Мы получили систему уравнений для нахождения Решив её, получим: Отсюда получаем окончательный ответ:

Пример 3. Решить уравнение двумя способами: а) непосредственно и б) сведением к системе. Сравнить полученные решения.

Решение. Сначала решим это уравнение непосредственно. Составим характеристическое уравнение: Его корни: Следовательно, общее решение уравнения имеет следующий вид:

Теперь сведём это уравнение к системе. Положим Тогда Значит, наше уравнение эквивалентно системе Матрица этой системы: Характеристическое уравнение: Нетрудно видеть, что это уравнение совпадает с характеристическим уравнением, написанным ранее для дифференциального уравнения. Для каждого из корней характеристического уравнения найдём соответствующий ему собственный вектор. Если то мы получаем систему из которой находим собственный вектор Для корня получаем систему из которой находим Отсюда следует, что общее решение системы имеет вид Взяв у векторов первые координаты, получим: Так как искомая функция, то мы получили общее решение нашего уравнения: Формула совпадает с той, которая была получена непосредственным решением уравнения.

Пример 4. Решить систему сведя её к одному уравнению второго порядка.

Решение. Выразим из первого уравнения: Подставим это выражение во второе уравнение: откуда получаем для функции уравнение второго порядка: Его характеристическое уравнение имеет корни Следовательно, Теперь находим функцию

Таким образом, общее решение системы имеет вид

Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений сводится к одному уравнению. Примером может служить система Однако, если, например, положить то для функций получится уравнение второго порядка:

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти все решения системы дифференциальных уравнений:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

к) л) м)

2. Решить систему

Ответы: 1. а) б) в)  г) д)  е) ж)  з)  и)  к)  л)  м) 2. 

§ 8. Линейные неоднородные уравнения и системы с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

(29)

В начале главы было отмечено, что решение этого уравнения будет получено, если удастся найти все решения однородного уравнения и какое-либо (частное) решение уравнения (29). Нахождение фундаментальной системы решений однородного уравнения достаточно подробно обсуждалось в предыдущих параграфах, поэтому мы будем считать её известной. Остаётся лишь найти частное решение уравнения (29). Это может быть сделано методом вариации постоянных для любой функции стоящей в правой части уравнения (29) (единственным ограничением на функцию является её непрерывность). Однако, если имеет специальный вид, а именно, является квазимногочленом, то существует гораздо более эффективный, чем метод вариации постоянных, способ отыскания частного решения – это метод неопределённых коэффициентов.

Назовём квазимногочленом функцию вида где обычный многочлен, а постоянные. При этом мы не исключаем случай, когда числа комплексные. Так как и то квазимногочленами оказываются функции вида и т.д. Сделаем одно замечание.

Замечание. Если уравнение (30) имеет вид

(30)

где дифференциальные операторы, то частное решение уравнения (30) может быть представлено в виде

где частное решение уравнения

Доказательство высказанного утверждения очевидным образом следует из того факта, что линейный оператор.

Ввиду замечания нам достаточно научиться отыскивать частные решения уравнений вида

(31)

Число может являться, а может и не являться корнем характеристического уравнения однородного уравнения Если не является корнем характеристического уравнения, то будем говорить, что корень кратности 0. Таким образом, корень кратности многочлена в том и только том случае, если где многочлен, удовлетворяющий условию Ниже будет доказано, что уравнение (31) обязательно имеет частное решение вида

(32)

где кратность в характеристическом уравнении, а степень многочлена Используя этот факт, можно сравнительно просто найти частное решение уравнения Для этого достаточно равенство (32) продифференцировать раз и подставить производные в уравнение (31). После подстановки мы получим систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентов Решив её, найдём эти коэффициенты.

Теорема. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами в котором многочлен, а постоянная, имеет частное решение вида где кратность в характеристическом уравнении, а степень многочлена

Доказательство теоремы мы не будем проводить во всех подробностях, а обрисуем лишь основные его этапы.

Обозначим через комплексное линейное пространство, состоящее из всех линейных комбинаций функций Таким образом, (здесь угловые скобки означают линейную оболочку системы векторов). Очевидно, базис пространства Рассмотрим два подпространства этого пространства: и На пространстве действует линейный оператор переводя вектор в вектор Так как то действие оператора можно “расщепить” на два действия: сначала оператором потом оператором Можно проверить, что оператор взаимно однозначно отображает пространство на а оператор взаимно однозначно отображает на Так как функция принадлежит подпространству то она имеет прообраз при отображении т.е. Так как то имеет прообраз при отображении т.е. Таким образом, Так как то функция вида (32). Таким образом, уравнение имеет частное решение вида (32). Рассуждения данной теоремы можно проиллюстрировать следующим рисунком:

Утверждение, аналогичное только что приведённой теореме, справедливо для систем с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Отличие от уравнений состоит в том, что вместо надо брать Точное утверждение сформулируем в виде теоремы, доказательство которой опустим.

Теорема. Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами где постоянная -матрица, искомая вектор-функция, а имеет частное решение вида где кратность в характеристическом уравнении