Разбор типовых примеров
Пример 1. Найти все решения уравнений:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Решение.
а)
Составим характеристическое уравнение:
Его корни:
Следовательно, общее решение уравнения
имеет вид
где
константы.
б)
Характеристическое уравнение:
Его корни:
Следовательно,
в) Характеристическое
уравнение:
т.е.
Корни:
Следовательно,
г)
Здесь ищется функция
Характеристическое уравнение:
корни:
Поэтому
д)
Имеем:
Отсюда
Базисные функции (т.е. функции, образующие
фундаментальную систему решений):
и
Следовательно,
е)
Характеристическое уравнение:
его корни:
Поэтому
ж)
Характеристическое уравнение:
Его корни:
Запишем число, стоящее под знаком корня,
в тригонометрической форме:
По формуле Муавра
где
Таким образом,
Отсюда получается формула общего решения:
Пример 2. Составить дифференциальное уравнение, имеющее следующую фундаментальную систему решений:
а)
б)
в)
Решение.
а)
Корни характеристического уравнения
равны:
Следовательно, характеристическое
уравнение имеет вид
или
Значит, дифференциальное уравнение
выглядит так:
б)
Здесь
трёхкратный корень, поэтому
характеристическое уравнение имеет
вид
или
Следовательно, дифференциальное
уравнение имеет вид
в)
Здесь
поэтому характеристическое уравнение
имеет вид
т.е.
Заменяя степени
на производные, получим дифференциальное
уравнение:
Пример 3.
Решить уравнение Эйлера
Решение.
Положим
Тогда
.
Подставив в уравнение, получим:
(здесь
После упрощения будем иметь
Характеристическое уравнение
имеет корни
Следовательно, общее решение имеет вид
Возвращаясь к переменной
получим:
Такой же результат получается при замене
Пример 4.
Найти решения уравнений, удовлетворяющие
заданным начальным условиям: а)
б)
Решение.
а)
Составим характеристическое уравнение:
Его корни:
Общее решение уравнения:
Подставим в эту формулу
Найдём производную:
Так как
то мы получаем:
Следовательно,
Отсюда
б)
Характеристическое уравнение:
Корни:
Общее решение уравнения:
Так как
то
Значит,
Дифференцируем:
Подставим начальные условия.
Таким образом,
Значит,
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти все решения уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
н)
о)
п)
2. Составить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, для которого данное множество функций является фундаментальной системой решений:
а)
б)
в)
3. Решить уравнение методом вариации постоянных:
а)
б)
в)
4. Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:
а)
б)
5. Решить однородные уравнения Эйлера:
а)
б)
в)
6.
Решить уравнение, считая
известной функцией:
а)
б)
7.
Найти решения уравнения, ограниченные
при
а)
б)
Ответы: 1. а)
б)
в)
г) 
д)
е)
ж) 
з)
и)
к) 
л) 
м) 
н) 
о)
п) 
2. а)
б) 
в)
3. а) 
б) 
в) 
4. а)
б) 
5. а)
б)
в) 
5. а) 
б) 
6. а) 
б) 