15 ) Доверительный интервал для генеральной средней а (генеральная дисперсия s2 неизвестна)

Доверительный интервал для генерального среднего - это интервал изменений среднего значения совокупности, в пределах которого с заданной вероятностью будет находиться выборочное среднее при выборке данных большего размера.

Если дисперсия в генеральной совокупности неизвестна, то тогда стандартная ошибка выборочного распределения средних значений должна быть оценена следующим образом

где

выборочное стандартное отклонение;

— несмещенная оценка стандартного отклонения генеральной совокупности.

Распределение соответствующей стандартизованной переменной далеко не нормальное. В этом случае взамен нормального распределения используется

t- pacпределение Стьюдента. (1 -a) 100% доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности запишется как:

где ta/2,(n-1) — стандартизованная t-переменная для (n-1) степеней свободы,

выше которой лежит (a/2) 100% площади t-распределения.

В главе 4 отмечалось, что если объем выборки n, по крайней мере равняется 30, то t-распределение можно считать тождественным нормальному распределению.

Пример 5.3. Случайная выборка n = 25 пакетов яблок показала, что средний вес пакета `x равен 1020 г со стандартным отклонением s = 12 г. Найти доверительный интервал для среднего веса яблок генеральной совокупности с вероятностью 95%. Предполагается, что генеральная совокупность нормальная.

Решение

Поскольку стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно, то может быть оценена только стандартная ошибка выборки, t-распределение является подходящим выборочным распределением. Доверительный интервал с вероятностью костью 95% для среднего значения генеральной совокупности находится следующим образом:

где t0,025,24 — стандартная t-переменная, выше которой находится 2,5% площади t-распределения с (25 - 1)-степенями свободы. Используя таблицу t-распределения (см. приложение 2), находим, что:

t0,025,24 = 2.064

Следовательно, доверительный интервал с вероятностью 95% составит:

На 95% мы уверены, что средний вес пакетов с яблоками в генеральной совокупности m находится в пределах от 1015 г до 1025 г.

Отклонение в ±5,06 г составляет приблизительно ±0,5% среднего веса пакета в выборке, равного 1020 г. Полученное выборочное среднее значение может считаться надежной оценкой генеральной средней.

2 Блок :

1. Доверительный интервал для генеральной доли (относительной величины) р

Нас обычно интересует оценка генеральной доли (пропорции) событий с некоторым характерным свойством. Например, аудиторов интересует доля ошибок в совокупности счетов. Доля событий, в которых возникает характерное свойство, соответствует биномиальному вероятностному распределению. Однако если мы рассматриваем только большие выборочные совокупности и случаи, в которых доля особых событий ни маленькая, ни большая, то мы можем предположить, что выборочное распределение выборочной доли приблизительно нормальное. Это означает, что можно найти доверительные интервалы для генеральной доли, основываясь на нормальном распределении. Можно использовать те же положения для этой аппроксимации, где обсуждалась нормальная аппроксимация биномиального распределения, при условии, что np>5 и n(1-p)>5. Обозначим генеральную долю событий р и ṗ   -выборочную долю. Стандартная ошибка выборочного распределения доли особых событий в выборке находится по следующей формуле: Поскольку генеральная доля р обычно неизвестна, стандартная ошибка будет оцениваться при использовании   ṗ как оценки р: Теперь мы можем найти (1 - a) 100%-ный доверительный интервал для генеральной доли: ṗ± где z_a/2 — величина стандартизованной нормальной переменной, выше которой лежит (a/2) 100% выборочного распределения.