10.Вероятность попадания нормального распределения случайной величины на отрезок. Правило трех сигм.

Функция распределения равна

Математическое ожидание равно M(X) = mx = 0 q + 1 p = p.

Если составить ряд распределения для случайной величины X2, то мы получим ту же таблицу (так как 02 = 0 и 12 =1). Поэтому M(X2) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X2) - (mx)2 = p - p2 = p(1-p) = pq.

Пример. Пусть плотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка. Такое распределение называется равномерным на отрезке [a,b]. Из условия нормировки для плотности вероятности следует

Отсюда следует, что - плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна

Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].

Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д.

Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).

Рассмотрим ситуацию А. Пусть число исходов равно двум (N = 2). Такая схема испытаний называется схемой Бернулли.

Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданию в мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промаха равна q = 1 - p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). , так как в каждом опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть один раз равна , так как стрелок может попасть при первом, втором, … n ом выстреле. ,так как два попадания (порядок не важен) должны быть размещены (выборки без возвращения) среди n выстрелов. Аналогично

- формула Бернулли.

Само распределение называют биномиальным.

В самом деле, это - коэффициенты при, разложении по степеням

производящей функции. Из формулы Бернулли вытекают два следствия:

Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m1 раз и не менее m2 раз равна , Вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна .

Если Х имеет биномиальное распределение, то Мх = np, Dx = npq.

Пусть в ситуации А число исходов равно N, а их вероятности равны p1…pN . Вычислим вероятность того, что после n испытаний i - тый исход наступит раз Заметим, что так как .Поэтому . Это - полиномиальное распределение.

Заметим, что - это коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции . Рассмотрим ситуацию В. Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номера испытания, так как условия испытаний различны. - это коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции при N исходах. При двух исходах - это коэффициент при в разложении производящей функции.

Распределения, связанные с повторными испытаниями.

Геометрическое распределение.

Рассмотрим схему Бернулли. Обозначим Х - число испытаний до первого успеха, если вероятность успеха в одном испытании р. Если первое испытание успешно, то Х = 0. Следовательно, . Если Х = 1, т.е. первое испытание неудачно, а второе успешно, то по теореме умножения . Аналогично, если Х = n , то все испытания до n-ого неудачны и . Составим ряд распределения случайной величины Х

Случайная величина с таким рядом распределения имеет геометрическое распределение.

Проверим условие нормировки . Гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим схему испытаний, обобщающую задачу о выборке бракованных деталей и похожую на ситуацию А с N исходами. Пусть имеется n элементов, разделенных на группы: n1 элементов первого типа, n2 - второго типа и т.д., nN - N-ого типа. Какова вероятность, выбрав m элементов, получить среди них m1 элементов из первой группы, m2 - из второй и т.д. mN - из N-ой?

Ее легко вычислить по классическому определению вероятностей с учетом теоремы умножения: В частности, при N=2 (m2=m-m1, n2=n-n1) (задача о бракованных деталях) Формула Пуассона и распределение Пуассона.

Пусть число испытаний n велико, вероятность p мала и np мало. Тогда вероятность наступления m успехов в n испытаниях можно приближенно определить по формуле Пуассона:

Заметим, что по формуле Пуассона можно считать вероятность неуспеха, если q мало, приняв

Случайная величина с рядом распределения m, имеет распределение Пуассона. Чем больше n, тем формула Пуассона точнее. Для грубых расчетов формулу применяют при n =10, 0 - 2, при n = 100 0 - 3. При инженерных расчетах формулу применяют при n = 20, 0 - 3, n =100, 0 - 7. При точных расчетах формулу применяют при n = 100, 0 - 7, n =1000, 0 - 15.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей распределение Пуассона.

Экспоненциальное и нормальное распределения.

Экспоненциальное распределение. Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность распределения задается формулой

- параметр экспоненциального распределения.

Для случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, , .

Если времена между последовательными наступлениями некоторого события - независимые, экспоненциально распределенные случайные величины с параметром , то число наступлений этого события за время t имеет пуассоновское распределение с параметром . Геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального распределения.

Нормальное распределение (распределение Гаусса).

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение (распределена нормально или по Гауссу), если ее плотность имеет вид

Вычислим математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины. Вычислите аналогично .

Обозначим плотность стандартного нормального распределения (при ) ,

обозначим функцию распределения стандартного нормального распределения

где - интеграл Лапласа. Значения можно найти в стандартных таблицах.

Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок [a,b].

При вычислении вероятности полезно учитывать нечетность функции :

Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа.

Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех m справедлива локальная формула Муавра - Лапласа

Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех m справедлива интегральная формула Муавра - Лапласа

Это означает, что при большом числе испытаний распределение числа успехов становится нормальным.

Иногда приходится оценивать вероятность отклонения частоты события от вероятности. Покажем, как можно использовать для этого интегральную формулу Муавра - Лапласа.

Заметим, что Запишем интегральную формулу Муавра - Лапласа.

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.Это правило называется правилом трех сигм.Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.Получаем:Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.Плотность распределения имеет вид:Построим график:Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3)

Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.