26. Теорема (признак Коши).

Теорема. Если в ряде с положительными членами величина имеет предел при , т.е. то:

1. ряд сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Доказательство. 1. Пусть l<1. Рассмотрим q, при котором

Начиная с некоторого N ( ) выполняется неравенство

Отсюда следует, что или для всех

Рассмотрим 2 ряда:

Второй ряд сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию.

2. Пусть l>1. С некоторого n=N будет иметь место неравенство или

Ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю (все члены больше 1).

Замечание. Как и в признаке Даламбера случай требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды.

27. Теорема (признак Даламбера).

Теорема. Если в ряде с положительными членами отношение последующего члена к предыдущему при имеет предел, т.е. то:

1.ряд сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1,

3. теорема не дает ответа при l=1.

Доказательство. 1. Пусть l<1. Рассмотрим q, при котором

Начиная с некоторого N ( ) выполняется неравенство

Действительно, так как величина стремится к то разность между ними равняется

Начиная с любого N, получаем систему неравенств:

Складывая таким образом члены последовательности, приходим к выводу, что перед нами геометрическая прогрессия со знаменателем

2. Пусть l>1. Из равенства следует, что при будет иметь место неравенство Это означает, что члены ряда возрастают, поэтому ряд расходится.

Замечание1. Ряд будет расходиться и том случае, когда Это следует из неравенства

Замечание2. Если но отношение то Ряд расходится.

28.Интегральный признак сходимости.

Теорема. Пусть члены ряда положительны и не возрастают, то есть и пусть f(x) – такая непрерывная невозрастающая функция, что Тогда если несобственный интеграл сходится/расходится, то сходится/расходится и ряд.

Доказательство.

Примечание автора. Необходимы 2 графические иллюстрации.

Из первого графика очевидно

Из второго - откуда

Рассмотрим первый случай (сходится). Предположим, что интеграл сходится , то есть имеет конечное значение. Частичная сумма остается ограниченной при всех значениях n. Но при увеличении n она возрастает, так как все члены положительны. Следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим второй случай (расходится). Предположим, что Это значит, что при возрастании n неограниченно возрастает интеграл Тогда в силу неограниченно возрастает. Следовательно, ряд расходится.

Замечание. Ни признак Даламбера, ни признак Коши не решают вопроса о сходимости этого ряда, так как предел равен единице.

30. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

Определение. Знакочередующийся ряд – ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Теорема. Если в знакочередующемся ряде члены таковы, что и то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство. Рассмотрим сумму первых членов исходного ряда: Так как выражения в скобках положительные. Следовательно, и возрастает с возрастанием

Запишем сумму в другом виде: Каждая скобка здесь также положительна. В результате вычисления получим число, меньшее то есть

Таким образом: S возрастает с возрастанием m и ограничена сверху. причем

Теперь докажем, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу S. Для этого выражается и аналогично записывается предел

Следовательно, ряд сходится.

Замечание. Теорема Лейбница справедлива, еси неравенства выполняются, начиная с некоторого N.