19. Гамма-функция.

Определение. Функция на промежутке

Интеграл, определяющий гамма-функцию, несобственный по бесконечному промежутку. При подынтегральная функция терпит разрыв при

Теорема. Гамма-функция определена и непрерывна для любых

Доказательство. Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

Рассмотрим Для любого существует что Тогда для любого и для любого x из окрестности выполняется неравенство

Функция интегрируема на этом отрезке. Следовательно, для любого интеграл сходится и функция непрерывна при любом

Рассмотрим Из формулы Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

При для любого Подберем n так, чтобы Значит при справедливо неравенство

Функция интегрируема на отрезке. Следовательно, при любом интеграл сходится и функция непрерывна при любом

____

Имеют место следующие утверждения:

1. При любом неотрицательном х

Доказывается интегрированием по частям.

2.

3. При любом натуральном n

4.

20. Нахождение площади в декартовых координатах.

Если на отрезке [a,b] функция то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой осью Ох и прямыми х=а, х=b.

Если

Если функция меняет знак на отрезке, то интеграл по всему отрезку разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам.

Примечание автора. Обязательны 2 графические иллюстрации.

Если нужно вычислить площадь области, ограниченной кривыми х=а, х=b, будем иметь:

Кривая может быть задана уравнениями в параметрической форме

Нахождение площади в полярных координатах.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами графиком функции

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

22. Нахождение объема тела вращения.

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой осью Ох и прямыми

В этом случае сечение тела плоскостью, перперндикулярной к оси абсцисс, есть круг.

Таким образом, применяя общую формулу для вычисления объема тела вращения получаем:

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

21. Нахождение длины дуги в декартовых и поляных координатах.

Длина дуги в декартовых координатах.

Длина дуги АВ – тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю.

Найдем длину кривой, заключенной между вертикальными прямыми x=a и x=b.

Примечание автора. Необходима графическая иллюстрация.

Возьмем на дуге точки с абсциссами После этого проведем хорды . Длины дуг обозначим через

Тогда получим ломаную, вписаную в дугу АВ. Ее длина

Сначала необходимо доказать, что предел (смотри выше) существует.

Функции непрерывны => предел существует.

Итак, формула для вычисления дуги:

Если уравнение задано параметрически

Длина дуги в полярных координатах.

Уравнение задано где r – полярный радиус, «фи» - полярный угол.

Для доказательства возьмем и

Тогда сумма квадратов частных производных равняется

Следовательно,