23. Числовые ряды. Сходимость. Остаток ряда. Необходимый признак сходимости.

Определение. Числовой ряд – пара последовательностей и где числа - первый, второй…н-ный член ряда. - первой, второй…н-ной частичной суммой ряда.

Числовой ряд обозначают:

Иногда члены ряда удобнее нумеровать, начиная с некоторого числа m. Такой ряд обозначается так:

Определение. Если существует конечный то говорят, что ряд сходится (S – сумма ряда), и пишут

В противном случае ряд называют расходящимся и символу ряда никакого значения не присваивают.

Определение. Остаток ряда – величина при То есть - есть сумма ряда

Известно, что остаток сходящегося ряда стремится к нулю.

Теорема (необходимый признак сходимости).

Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неогрниченном возрастании n.

Доказательство. Возьмем сходящийся ряд Тогда имеет место равенство

где S-сумма ряда. Тогда имеет место равенство

Следовательно,

Следствие (достаточный признак расходимости). Если n-й член ряда не стремится к нулю при то ряд расходится.

25. Числовые ряды. Теоремы сравнения.

Определение. Числовой ряд – пара последовательностей и где числа - первый, второй…н-ный член ряда. - первой, второй…н-ной частичной суммой ряда.

Теорема (признак сравнения). Если члены ряда не больше соответствующих членов ряда то есть и второй ряд сходится, то сходится и первый.

Доказательство. Обозначим частичные суммы, как и Из условия следует, что

Так как второй ряд сходится, то существует предел его частичной суммы

Так как члены ряда положительны, то

Итак, мы доказали, что частичные суммы ограничены. Отсюда, они имеют предел

Очевидно, что

Аналогично: Если члены ряда не меньше соответствующих членов ряда то есть и второй ряд расходится, то расходится и первый.

Доказательство. Так как члены положительны, то частичная сумма ряда возрастает при возрастании n. Получаем

Так как то есть ряд расходится.

24 . Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд сходится, то  2. Теорема1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов, т.е. на сх. ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Доказательство. Пусть сумма n первых членов ряда. -сумма k отброшенных членов, - сумма членов ряда, входящих в сумму и не входящих в Тогда имеем: Тогда имеем: ,где -постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения , что если ,то и , если ,то , а это и доказывает справедливость теоремы. 3. Теорема2. Если ряд сходится и его сумма =s, то ряд , где с - какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма=cs. Доказательство. Обозначим n-ую частичную сумму ряда через , а ряда через .Тогда Отсюда ясно, что предел n-й частичной суммы ряда , т.к. Следовательно, ряд сходится, и его сумма = cs. 4.Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы равны и , то ряды и также сходятся и их суммы. Они равны + и - . Доказательство. Докажем сходимость ряда . Обозначая его n-ую частичную сумму через , а n-е частичные суммы рядов и соответственно через и , получим:

Переходя в этом равенстве к пределу при , получим .

Т.о.,ряд сходится и его сумма равна . Ряды и говорят, что они получены в результате почленного сложения (или вычитания) рядов и .