tr_m_an_ryady

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет „ ЛЭТИ“

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО КУРСУ „ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ“

Санкт-Петербург 2008

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет „ ЛЭТИ“

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО КУРСУ „ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ“

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ „ ЛЭТИ“

2008

УДК 519.677(075) ББК В16я7

Т39

Колбина С. А., Коновалов Г. М., Снетков О. А., Сулимов М. Г. ТиТ39 повые расчеты по курсу „Математический анализ“: Учебное пособие.

СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ ЛЭТИ“, 2008. ? с. ISBN 5–7629–0795–3

Описываются типовые расчеты, выдаваемые студентам первого курса для самостоятельного выполнения. Каждый типовой расчет предварается необходимым для его выполнения подробным изложением теории (без доказательств). Кроме того даются ссылки на учебники и учебные пособия, в которых можно найти доказательство приведенных теорем и утверждений. В конце каждого пункта пособия приводится вариант задания с его полным решением. Пособие соответствует унифицированной рабочей программе дисциплины „Математический анализ“ для студентов первого курса факультетов электротехники и автоматизации, электроники, экономики и менеджмента и открытого факультета.

Предназначено для студентов всех направлений и специальностей факультетов электротехники и автоматизации, электроники, экономики и менеджмента и открытого факультета.

УДК 519.677(075) ББК В16я7

Рецензенты: кафедра высшей математики СПбГУТ; д-р физ.-мат. наук проф. Я. И. Белопольская (СПбГАСУ).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ВВЕДЕНИЕ

Созданный на кафедре ВМ–1 компьютерный пакет индивидуальных типовых расчетов (ТР) с возможностью генерации любого числа различных вариантов способствует активизации самостоятельной работы студентов и более глубокому усвоению теоретического материала, излагаемого на лекциях.

Данное учебное пособие посвящено подробному описанию ТР, которые выдаются студентам для самостоятельного выполнения. В издании содержатся теоретические сведения, необходимые для этого и примеры выполнения конкретных ТР.

В учебном пособии рассмотрены пять ТР, которые выдаются студентам первого курса при изучении дисциплины „ Математический анализ“ и соответствуют унифицированной рабочей программе. Дадим список включенных в пособие ТР и ссылки на учебные пособия и учебники, в которых можно найти подробное изложение теории с доказательствами.

1.Построение графика функции (ТР 2.2) см. учебное пособие [1] и учебник [2].

2.Интегрирование рациональных дробей (ТР 2.3) см. учебное пособие

[1]и учебник [2].

3.Вычисление интеграла по формуле трапеций с оценкой числа узлов и с помощью специальных функций (ТР 2.4) см. учебное пособие [1] и учебник [2].

4.Экстремумы функций двух переменных (ТР 2.5) см. учебное пособие

[3]и учебник [2].

5.Числовые ряды и их применение (ТР 2.6) см. учебное пособие [1] и учебник [2].

Студенту выдается распечатка, содержащая номер варианта и условие ТР. Алгоритмы выполнения ТР обсуждаются на лекциях и на соответствующих практических занятиях. Все ТР ориентированы на использование калькуляторов. Студенты могут выполнять ТР с использованием программ, реализующих заданный алгоритм, при условии, что приложена распечатка с текстом программы, результатами вычислений и студент может пояснить работу всех операторов и программы в целом.

Отчет по ТР должен включать: 1) стандартный титульный лист; 2) условие ТР (распечатку, содержащую условие ТР, студенты наклеивают в самом начале своего отчета); 3) содержание ТР (в этом разделе формулируется математическая задача, которая решается в ТР); 4) достаточно подробное описание выполнения ТР; 5) ответы на все пункты задания.

Студентам настоятельно рекомендуется делать провеку полученных результатов. В примерах выполнения конкретных ТР в учебном пособии даны указания относительно выполнения проверок.

3

1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Графическое изображение функциональной зависимости привлекает своей наглядностью и легкой обозримостью. В главе рассматривается практический подход к построению математически правильного эскиза графика функции, основанного на выявлении характерных особенностей заданной функции. Ниже приводятся сведения, необходимые для выявления этих характерных особенностей.

Пусть задана функция f: X → Y , X IR и Y IR.

1.1. Непрерывность функции

Определение 1.1. Функция f: X → Y называется непрерывной в точке a X, если a – изолированная точка X, или a – предельная точка

X и lim f(x) = f(a).

x→a

Если f непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на X.

Теорема 1.1. Пусть функции f: X → Y и g: Y → IR непрерывны в точках a и f(a) соответственно. Тогда их суперпозиция f ◦g непрерывна в точке a.

Теорема 1.2. Пусть функции f, g: X → IR непрерывны в точке a. Тогда f + g, f − g, fg, f/g (при g(a) 6= 0) непрерывны в точке a.

Определение 1.2. Функция f: X → Y называется непрерывной слева (справа) в точке a X, если a – изолированная точка X, или a – предельная слева (справа) точка X и lim f(x) = f(a) ( lim f(x) = f(a)).

Теорема 1.3. Пусть a X – предельная слева и справа точка X. Функция f: X → Y непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда f непрерывна слева и справа (одновременно) в точке a.

Предложение 1.1. Функция f: X → Y непрерывна в предельной для множества X точке a, если выполнены три условия:

1)f определена в точке a;

2)существует lim f(x);

x→a

3) lim f(x) = f(a).

x→a

Предложение 1.2. Любая из основных элементарных функций (c, xα, ax, loga x, sin x, cos x, arcsin x, arccos x, tg x, ctg x, arctg x, arcctg x)

непрерывна в своей области определения.

4

1.2. Точки разрыва функции

Определение 1.3. Если в точке a, предельной для множества X, нарушено хотя бы одно из условий 1, 2, 3 Предложения 1.1 , то a называется точкой разрыва функции f.

Определение 1.4. Точка разрыва a функции f называется:

1) точкой устранимого разрыва, если существует конечный lim f(x);

x→a

2) точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, но раз-

личные lim f(x) и lim f(x);

x→a−0 x→a+0

Аналогичная теорема верна для левой наклонной асимптоты.

5

1.4. Монотонность и экстремумы функции

Определение 1.7. Функция f: X → Y называется:

1) возрастающей (неубывающей), если для любых x1, x2 X, таких, что x1 < x2 выполнено f(x1) < f(x2) (f(x1) ≤ f(x2));

2) убывающей (невозрастающей), если для любых x1, x2 X, таких, что x1 < x2 выполнено f(x1) > f(x2) (f(x1) ≥ f(x2));

3)монотонной, если она входит в один из четырех перечисленных классов;

4)строго монотонной, если она возрастает или убывает.

Пусть функция f: [a, b] → Y непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b).

Теорема 1.5. 1. Функция f не убывает (не возрастает, постоянна) на [a, b] тогда и только тогда, когда f0 ≥ 0 (≤ 0, = 0) на (a, b);

2. Если f0 > 0 (< 0) на (a, b), то функция f возрастает (убывает) на [a, b].

Определение 1.8. Пусть f: X → Y , x0 X. Говорят, что функция

fв точке x0 достигает:

1)максимума (минимума), если x0 – предельная точка X и суще-

◦

ствует ε > 0, такое, что для любого x Kε(x0) ∩ X выполнено f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0));

2)экстремума, если f в точке x0 достигает максимума или мини-

мума;

3)наибольшего (наименьшего) значения, если для любого x X спра-

ведливо f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)).

Точки, в которых f достигает максимума (минимума, экстремума) называются точками максимума (минимума, экстремума) функции f.

Теорема 1.6. (Ферма). Пусть f : X → Y , x0 X. Если:

1) x0 – предельная слева и справа точка x;

◦

2) существует ε > 0 такое, что для любого x Kε(x0)∩X выполнено f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0));

3) существует f0(x0), то f0(x0) = 0.

Следствие 1.1. Если в точек x0 предельной слева и справа для множества X, функция f достигает максимума (минимума, наибольшего или наименьшего значения) и существует f0(x0), то f0(x0) = 0.

Определение 1.9. Пусть f : X → Y , x0 X предельная точка множества X. Если точка x0 предельная справа (но не слева), или x0 предельная слева (но не справа) или f0(x0) = 0, или f0(x0) не существует, то x0 называется критической точкой функции.

6

Согласно следствию 1.1 функция может иметь экстремум (а также наибольшее и наименьшее значения) только в критических точках.

Теорема 1.7. Пусть функция f непрерывна в точке x0 для некото-

◦

рого ε > 0, Kε(x0) X и существует f0 в Kε(x0). Тогда:

1)если f0 > 0 на (x0 − ε), x0 и f0 < 0 на (x0, x0 + ε), то x0 – точка максимума;

2)если f0 < 0 на (x0 − ε), x0 и f0 > 0 на (x0, x0 + ε), то x0 – точка

минимума;

3) если f0 > 0 (f0 < 0) на (x0 −ε, x0) (x0, x0 +ε), то в x0 экстремума нет.

Определение 1.10. Кртитическая точка x0 функции f называется стационарной, если f0(x0) = 0.

Теорема 1.8. Пусть x0 стационарная точка функции f и существует f00(x0). Тогда, если f00(x0) > 0 (f00(x0) < 0), то x0 – точка минимума

(максимума).

1.5. Выпуклость функции. Точки перегиба

Определение 1.11. Пусть f : X → Y дифференцируема в точке

x0 X. Будем говорить, что функция f выпукла вниз (вверх) в точке

◦

x0, если существует ε > 0 Такое, что для любого Kε(x0) ∩X справедливо

неравенство

f(x) > f(x0) + f0(x0)(x − x0);

(f(x) < f(x0) + f0(x0)(x − x0)).

Геометрически выпуклость вниз (вверх) в точке x0 означает, что в некоторой проколотой окрестности x0 график функции f лежит выше (ниже) касательной к графику f в точке x0.

Теорема 1.9. Пусть f : X → Y дважды дифференцируема в точке x0 X. Если f00(x0) > 0 (f00(x0) < 0) то функции f выпукла вниз (вверх)

в точке x0.

Определение 1.12. Точка x0 X называется точкой перегиба функции f, если точка x0 есть предельная слева и справа точка множества X и существует ε > 0 такое, что для любого x (xo − ε, x0)

f(x) > f(x0) + f0(x0)(x − x0)

и любого x (x0, x0 + ε)

f(x) < f(x0) + f0(x0)(x − x0)

или наоборот.

7

Теорема 1.10. Пусть x0 точка перегиба функции f. Если существует f00(x0), то f00(x0) = 0.

Предельные слева и справа точки из множества X, в которых вторая производная функции f равна нулю или не существует, называются точками подозрительными на перегиб.

Теорема 1.11. Пусть x0 точка подозрительная на перегиб. Если при переходе через такую точку вторая призводная меняет знак, то x0 – точка перегиба функции f.

В противном случае в точке x0 перегиба нет.

1.6. Алгоритм половинного деления (бисекций)

Теорема 1.12 (Больцано–Коши). Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах разные знаки. Тогда найдется хотя бы одна точка x0 (a, b), такая, что f(x0) = 0.

Эта теорема позволяет обосновать ряд методов для вычисления приближенного значения корня уравнения f(x) = 0.

Пусть требуется найти приближенное значение корня уравнения

f(x) = 0

с некоторой заданной погрешностью ε > 0. Это значит, что если x – корень уравнения, то требуется найти значение x¯, такое, что |x¯ − x | < ε. Предположим далее, что функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Пусть

Если f(c) = 0, то корень уравнения найден точно и процесс вычислений заканчивается.

Если же f(c) 6= 0, тогда на концах одного из промежутков [a, c] или [c, b] функция будет принимать значения разных знаков. Причем отрицательное значение – на левом конце, а положительное – на правом. Обозначим этот промежуток через [a1, b1], тогда f(a1) < 0; f(b1) > 0. Заметим, a1 + b1

что если длина этого промежутка l1 = b1 − a1 < 2ε, то точка c1 =

2

есть приближенное значение корня уравнения с точностью ε и процесс вычислений завершается.

В противном случае снова разделим промежуток [a1, b1] пополам точ-

кой c1 = a1 + b1 и вычислим значение f(c1). Обозначим через [a2, b2] ту

2

8

из половин промежутка, для которой f(a2) < 0, f(b2) > 0 и таким образом продолжим процесс построения промежутков. Для n-го промежутка [an, bn] (n = 0, 1, 2, ...) будем иметь f(an) < 0, f(bn) > 0, а длина его равна

b − a ln = bn − an = 2n−1 .

Определим N – необходимое число делений отрезка для достижения заданной точности

b − a

ln = 2n−1 < 2ε,

или

b − a < ε · 2n.

Прологарифмировав по основанию 2 это неравенство, получим

log2(b − a) < log2 ε + n

и

b − a n > log2 ε .

Следовательно, необходимое число шагов

где dαe – наименьшее целое, большее или равное α.

1.7.Типовой расчет по теме „Построение графика функции“ (ТР 2.2)

Задача заключается в построении эскиза графика функции, отражающего такие основные характеристики как интервалы монотонности, экстремумы, выпуклости и т.п. Исследование заданной функции и построение эскиза ее графика целесообразно проводить по следующей схеме:

1)найти область определения функции;

2)найти интервалы непрерывности функции, а также точки разрыва

суказанием вида разрыва;

3)исследовать поведение функции на ±∞ и найти асимптоты;

4)найти интервалы возрастания, убывания и локальные экстремумы функции;

5)найти точки пересечения графика с осями координат;

6)найти интервалы знакопостоянства функции;

7)найти интервалы выпуклости и точки перегиба;

8)построить эскиз графика, применяя результаты пп. 1)–7).

9