37. Ряд Тэйлора для функций

1.

m – произвольное постоянное число.

Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые трудности. Поэтому применим несколько другой способ, нежели для разложения функций синуса и косинуса.

Заметим, что удовлетворяет дифференциальному уравнению и условию

Найдем степенной ряд, сумма которого удовлетворяет уравнению и условию.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях равенства:

Для коэффициентов получаем выражения:

Получаем итоговую формулу:

Если m – целое положительное число, то начиная с определенного члена, все коэффициенты равны нулю и ряд превращается в многочлен.

Если m – дробное или целое отрицательное, имеем бесконечный ряд.

2.

Интегрируя равенство в пределах от 0 до х, получаем:

или

Это равенство справедливо в интервале

Выведем формулу для выведения натуральных логарифмов любых целых чисел.

Положим, что

Тогда

Полагая получаем

Итак, подставляя разные значения n, получаем натуральные логарифмы любых чисел.

Пример.

38. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. Функция Бесселя.

Пусть требуется найти решение дифференц.уравнения 2го порядка удовлетворяющее начальным условиям . Допустим, что решение у=f(x) существует и представимо в виде ряда Тейлора :

Нам нужно найти , т.е. значения производных от частного решения при .

Дифференцируя обе части первоначального уравнения по х получаем: и подставляя значение в правую часть, найдем:

и при x=x0.

Для тех значений х, для которых этот ряд сходится, он представляет решение уравнения.

Уравнение Бесселя.

УБ - дифференциальное уравнение вида:

Решение этого уравнения, следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени х на степенной ряд:

Перепишем выражение в виде и найдем его производные:

Приравняв коэффициенты при х, получаем систему уравнений. Решив ее, находим при

Поэтому

Общее решение уравнения

функция Бесселя первого рода р-го порядка, решение у1,умноженное на некоторую константу.

функция Бесселя первого рода р-го порядка, решение у2,умноженное на некоторую константу.

При целом положительном бесселева функция определяется, как

Частное решение ищется в форме

Это есть функции Бесселя второго рода n-го порядка.

33. Ряд Тейлора. Необходимый и достаточный признаки сходимости.

Формула Тэйлора выглядит следующим образом:

остаточный член. Для тех значений х, которых остаточный член мал, многочлен дает приближенное значение функции f(x).

Для того, чтобы функция раскладывалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член стремился к нулю. То есть при

Доказательство. где

Так как, по условию, то

Но - есть n-ная частичная сумма ряда; ее предел равен сумме ряда, стоящего в правой части равенства ( ). Следовательно, равенство справедливо.

Из предыдущего следует, что ряд Тейлора представляет данную функцию f(x) только при

Если предел не равен нулю, то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).