- •7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •7.1. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их интегрирования.
- •7.1.1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •7.1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Понятие об изогональных траекториях.
- •7.5. Интегрирование простейших типов д.У. 1-го порядка.
- •7.5.1. Д.У. С разделяющимися переменными.
- •7.5.2. Однородные д.У. 1-го порядка.
- •7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.5.5. Д.У. В полных дифференциалах.
- •3.1. Общие положения.
- •9. Линейные д.У..
- •9.1. Введение.
- •9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.У.
- •9.2.3. Формула Остроградского-Лиувилля Пусть и – решения (2), следовательно,
- •9.2.4. Существование фср (2)
- •9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
- •9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •9.3.1. Теоремы о частных решениях
- •9.3.2. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения 2-го порядка
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
- •9.4.1. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •В силу следствия достаточно найти решение уравнения
- •9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
- •9.4.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •9.5. Системы дифференциальных уравнений
9.2.3. Формула Остроградского-Лиувилля Пусть и – решения (2), следовательно,
. (3) Умножим первое из этих уравнений на , а второе – на и сложим их, получим , ( ) что равносильно . ( )
Это означает, что двух решений уравнения (2) есть одно из решений дифференциального уравнения (1). Рассмотрим уравнение
. ( )
Решая его, получим:
.
Поскольку начальное условие произвольно, то и является фактически произвольной константой: .
Так как определитель Вронского есть одно из решений ( ), то для него также справедлива следующая формула:
. (4)
Формула Остроградского-Лиувилля справедлива для любых двух решений уравнения (2).
Функция непрерывна, следовательно, и справедливо следующее утверждение: вронскиниан либо тождественно равен нулю, если , либо не равен нулю ни при одном , если . Таким образом, определитель Вронского для фундаментальной системы решений не только тождественно не равен нулю, но и не обращается в ноль ни при одном . Существенной является непрерывность .
9.2.4. Существование фср (2)
Теорема:
Любое однородное линейное дифференциальное уравнение имеет фундаментальную систему решений.
Доказательство:
Рассмотрим дифференциальное уравнение
и две системы начальных условий:
, , ,
, ,
где
.
Пусть и – частные решения соответствующих задач Коши. Докажем, что они образуют фундаментальную систему:
.
Теорема доказана.
Основная теорема:
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка является линейной комбинацией с произвольными постоянными коэффициентами любых двух решений этого уравнения, образующих фундаментальную систему решений. Другими словами, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма двух частных решений линейно независимых решений, умноженных на произвольные постоянные.
Доказательство:
Пусть и – фундаментальная система решений. Составим линейную комбинацию
,
где , есть произвольные постоянные. Надо доказать, что любое частное решение можно получить из выбором и .
Пусть есть решение задачи Коши для начальных условий
, , .
Положим , тогда
,
,
отсюда
и .
Так как , то и есть общее решение.
9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
Зная одно частное решение (2), не равное нулю, можно с применением формулы Остроградского-Лиувилля найти фундаментальную систему и, следовательно, общее решение (2), вычислив два неопределённых интеграла.
Пусть есть известное решение и нужно найти . Так как и , то при получаем:
.
И, наконец, при
.
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение
, .
Тогда
.
Общее решение будет:
.
9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
9.3.1. Теоремы о частных решениях
Рассмотрим неоднородное уравнение
(1)
и соответствующее однородное уравнение
. (2)
Теорема 1:
Разность любых двух частных решений уравнения (1) есть частное решение соответствующего однородного дифференциального уравнения.
Доказательство:
Пусть и – частные решения уравнения (1). Подставим в соответствующее однородное дифференциальное уравнение функцию вместе с ее производными:
.
Теорема доказана.
Теорема 2:
Если – частное решение уравнения (1), – частное решение соответствующего однородного уравнения, то
есть новое частное решение уравнения (1).
Доказательство:
Справедливы следующие соотношения:
,
,
значит,
.
Теорема доказана.
Из теорем 1 и 2 следует, что, взяв любое одно частное решение неоднородного уравнения (1) и прибавляя всевозможные частные решения однородного уравнения (2), получим все без исключения частные решения уравнения (1).
Определение: Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма любого частного решения данного уравнения и общего решения соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:
,
где и есть линейно независимые частные решения уравнения (2).
Теорема 3:
Если правая часть уравнения (1) есть сумма двух функций и , и если есть частное решение уравнения (1) с правой частью , а – частное решение уравнения (1) с правой частью , то – частное решение уравнения (1) с правой частью .
Доказательство:
Рассмотрим уравнение , подставим и в уравнения и соответственно. После сложения последних уравнений и группировки слагаемых получим:
.
Теорема доказана.
Пример:
, (1)
, , (2)
, . (3)
Тогда – частное решение уравнения (1).