- •7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •7.1. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их интегрирования.
- •7.1.1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •7.1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Понятие об изогональных траекториях.
- •7.5. Интегрирование простейших типов д.У. 1-го порядка.
- •7.5.1. Д.У. С разделяющимися переменными.
- •7.5.2. Однородные д.У. 1-го порядка.
- •7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.5.5. Д.У. В полных дифференциалах.
- •3.1. Общие положения.
- •9. Линейные д.У..
- •9.1. Введение.
- •9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.У.
- •9.2.3. Формула Остроградского-Лиувилля Пусть и – решения (2), следовательно,
- •9.2.4. Существование фср (2)
- •9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
- •9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •9.3.1. Теоремы о частных решениях
- •9.3.2. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения 2-го порядка
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
- •9.4.1. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •В силу следствия достаточно найти решение уравнения
- •9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
- •9.4.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •9.5. Системы дифференциальных уравнений
7.5. Интегрирование простейших типов д.У. 1-го порядка.
7.5.1. Д.У. С разделяющимися переменными.
Д.у. с разделяющимися переменными называют такое, что разрешив его относительно получим для нее:
Т.к. - переменные разделены
Т.е. дифференциалы некоторых функций и и сами функции могут отличаться лишь на постоянную величину, то есть
- общий интеграл.
Иногда д.у. с разделяющимися переменными может быть в виде:
(A) или
Пример.
Однако переход от общего интеграла к общему решению не всегда возможен.
Замечание. При делении на возможна “потеря” решений (как в алгебре).
Если имеет действительные решения , то прямые - интегральные кривые д.у. . Последние решения могут входить или не входить в общее решение. Чаще всего они являются особыми. Для уравнений вида (A) интегральными будут прямые , где - корни , и , где корни . В разобранном примере прямые и являются интегральными и получаются из общего решения при С=0.
7.5.2. Однородные д.У. 1-го порядка.
Д.у. называется однородным, если , разрешив его относительно , получим функцию, зависящую только от отношения .
(B) , которое, заменой переменной преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:
- найдя его общее решение и положив в нем , перейдем к общему решению (B).
Пример. ,
или или
Однородные уравнения часто задаются в виде:
( ) или
( )
! Признак однородности ( ) и ( ) : M и N должны быть однородными функциями одного порядка т.е. :
(*)
где t – произвольный множитель, k – целое.
Положим в (*)
При решении ( ), ( ) нет необходимости перехода к (В) :
Пример.
Замечание.
Интегральные кривые однородного уравнения (любого) – семейство подобных кривых с центром подобия в начале координат. Чтобы убедиться в этом достаточно заметить, что изоклины (B) образуют пучок прямых, проходящих через О. Пусть
(**) - есть корни (**). А это ничто иное как уравнения прямых . Далее, строя приближенные ломанные, убедимся в правильности замечания.
Дополнительно к уравнениям с разделяющимися переменными:
Уравнения вида с помощью подстановки сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
Д.у. 1-го порядка называются линейными, если и входят в это уравнение только в 1-й степени, не перемножаясь друг на друга. Общий вид:
Для интегрирования применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Проинтегрируем линейное однородное уравнение:
Решение же неоднородного линейного д.у. будим искать в виде
т.е. заменим С на u(x), которую необходимо найти. Т.о. константа заменяется переменной функцией, т.е. варьируется. Найдем и подставим в неоднородное уравнение: после приведения подобных получим:
- общее решение неоднородного линейного д.у. 1-го порядка.
Пример.
найти проходящую через точку
!!! Рассмотреть метод подстановки -
7.5.4. Уравнение Бернулли.
Уравнение вида , n – любое действительное число. При n=0 – линейное неоднородное, n=1 – линейное однородное. Уравнение Бернулли заменой , где новая неизвестная функция, преобразуется в линейное относительно z.
т.к. всякое линейное д.у. может быть проинтегрировано в квадратурах, то это справедливо и по отношению к д.у. Бернулли.
Практически, для интегрирования д.у. Бернулли нет необходимости предварительно преобразовывать его в линейное. Можно применить метод вариации произвольной постоянной, как и для линейного неоднородного.
Пример.
, найдем сначала решение д.у. .
Его решение . Пусть
Где - общее решение
- решение задачи Коши,
К рассмотренным выше типам д.у. сводятся многие другие с помощью преобразования переменных или перехода к обратной функции.
Пример.
заменой
В общем случае:
Пример.
сводится к линейному при переходе к обратной функции: