7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

7.1. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их интегрирования.

Опр. Дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестные функции, их аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам, или дифференциалы неизвестных функций. Д.у. называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят только от одной переменной.

1. F(x,y,y’, … , y⁽ⁿ⁾ ) = 0:

2. Ф(x,y,dy, … , , d⁽ⁿ⁾ y ) = 0.

Примеры.

7.1.1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

Порядок старшей входящей в уравнение производной определяет порядок уравнения - n.

Любая функция, которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной обращает его в тождество, называется решение этого уравнения. Например, sin(x) есть решение уравнения второго порядка . Дифференциальные уравнения имеют бесконечное множество решений, если имеется хотя бы одно. Обычно, при решении ставиться задача нахождения всех его решений. Процесс решения д.у. часто называют интегрирование д.у.. Если же решается конкретная задача (в физике, технике и т.д.) по нахождению решения д.у., то на неизвестную функцию налагаются как правило дополнительные условия. Например, функция должна принимать определенные значения при заданных значениях аргумента. Такие условия называют начальными условиями, а конкретное решение – частным решением д.у..

Совокупность всех частных решений называют общим решением. Отметим, что общее решение д.у. n-го порядка содержит n произвольных констант, т.е. имеет вид:

Для уравнения n-го порядка начальные условия чаще всего задаются следующим образом:

требуется найти решение д.у., которое при заданном значении принимает вместе со своими производными вплоть до (n-1) порядка, наперед заданные значения:

при .

Задача о решении д.у., удовлетворяющем начальным условия вида (*) называется задачей Коши.

Для уравнения 1-го порядка задача Коши сводится к поиску решения, которое при принимает значение .

7.1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Изучение д.у. 1-го порядка начнем с уравнения, разрешенного относительно производной:

Пусть x и y координаты точки плоскости xOy. Тогда любому решение соответствует некоторая кривая – график решения. Эти кривые называют интегральными кривыми уравнения (1). Так как есть угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M(x,y), то геометрический смысл д.у. 1-го порядка заключается в том, что оно определяет в любой точке ОДЗ направление интегральной кривой, проходящей через эту точку. Другими словами д.у. сопоставляет каждой точке ОДЗ f(x,y) – поле направлений интегральных кривых.

С этой точки зрения Задача Коши заключается в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку .

Теорема Коши. Пусть в некоторой окрестности правая часть уравнения (1) – f(x,y) является непрерывной функцией x и y и . Тогда решение задачи Коши существует и при том является единственным.

Естественно, решение задачи Коши является частным решением (1), когда как совокупность этих решений определяет общее решение.

Покажем, что общее решение (1) содержит одну произвольную постоянную C и является семейством интегральных кривых, зависящих от одного параметра:

Пусть ,а - ординаты некоторых точек на прямой , в которых выполняются условия теоремы Коши. Тогда, через любую точку проходит по одной интегральной кривой уравнения (1). Изменяя значение y при мы переходим от одной интегральной кривой к другой. Легко видеть, что при переходе от к в той же области не изменит геометрическую картину, т.к. любая точка на прямой также лежит на одной из интегральных кривых, имевших начальную точку на . Другими словами при мы имеем дело с тем же семейством интегральных кривых. В силу сказанного семейство интегральных кривых зависит только от одного параметра.

Опр. Общим решение д.у. 1-го порядка называют такое его решение, зависящее от C, из которого при соответствующем выборе C можно получить решение любой Задачи Коши, поставленной для данного уравнения в области, где условия теоремы Коши выполняются.

Пример. Уравнение радиоактивного распада

имеет решение

Это решение является общим. Пусть например надо найти решение, которое при принимает значение . Подставим эти значения в общее решение и найдем C и следовательно задача Коши имеет решение:

Чтобы представить себе форму и положение интегральных кривых на XOY, часто используют метод изоклин.

Опр. Изоклинами д.у. 1-го порядка называются геометрические места точек плоскости XOY, в которых интегральные кривые имеют одно и то же направление.

Зададим угловой коэффициент интегральных кривых , тогда это направление интегральные кривые (1) , будут иметь в точках XOY, удовлетворяющих уравнению:

т.е. уравнение (2) есть уравнение изоклины. Поскольку k- выбрано произвольно, то (2) определяет семейство изоклин д.у. (1).

Пусть теперь построена последовательность изоклин, соответствующих

Причем достаточно малое число. Выберем на изоклинах ряд точек и проведем из них отрезки прямых с угловым коэффициентом до пересечения с изоклиной соответствующей . Из получившихся точек пресечения - до с коэффициентом и т.д.. Эти отрезки образуют ряд ломанных, которые дают приближенное изображение интегральных кривых заданного уравнения. В самом деле, любой отрезок ломанной есть отрезок касательной к некоторой точке интегральной кривой и на малом отрезке аппроксимирует эту кривую. Чем меньше значение , тем короче отрезки ломанных и тем лучше ломанная представляет кривую.

Как было сказано выше, д.у. 1-го порядка соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра C. Важно и обратное утверждение – любому однопараметрическому семейству кривых, если их уравнение дифференцируемо по x, соответствует некоторое д.у..

Пусть такое семейство задано уравнением:

(2)

тогда (3).

Исключая из (2) и (3) C получим :

(4)

Если удается выразить C из (2) как

(4*)

Полученное д.у. называют д.у. семейства (2) : оно описывает обычно некоторое геометрическое свойство, общее для всех кривых данного семейства. Исходное же уравнение (2) определяет общее решение д.у. вида (4) или (4*), т.к. найдено из равенства , то , а следовательно т.е. при подстановке в (4*) обращает его в тождество.