- •7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •7.1. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их интегрирования.
- •7.1.1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •7.1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Понятие об изогональных траекториях.
- •7.5. Интегрирование простейших типов д.У. 1-го порядка.
- •7.5.1. Д.У. С разделяющимися переменными.
- •7.5.2. Однородные д.У. 1-го порядка.
- •7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.5.5. Д.У. В полных дифференциалах.
- •3.1. Общие положения.
- •9. Линейные д.У..
- •9.1. Введение.
- •9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.У.
- •9.2.3. Формула Остроградского-Лиувилля Пусть и – решения (2), следовательно,
- •9.2.4. Существование фср (2)
- •9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
- •9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •9.3.1. Теоремы о частных решениях
- •9.3.2. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения 2-го порядка
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
- •9.4.1. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •В силу следствия достаточно найти решение уравнения
- •9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
- •9.4.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •9.5. Системы дифференциальных уравнений
9. Линейные д.У..
9.1. Введение.
Линейное д.у. n-го порядка имеет вид:
(1)
где y – неизвестная функция аргумента x, - заданные непрерывные функции. Линейное д.у. называется однородным, если .
При - уравнение неоднородно, или уравнение с правой частью.
Задачу нахождения решения, отвечающего условиям:
при называют задачей Коши для д.у. n-
го порядка.
Теорема Коши: Если в д.у. n-го порядка
функция F непрерывна, а ее частные производные по ограничены во всех точках (n+1) – мерной области , то для любого существует единственное решение данного д.у., удовлетворяющее начальным условиям.
Такое решение называют частным решением, соответствующим заданным начальным условиям.
Общим решением д.у. n-го порядка ( определенным на D, где выполнены условия теоремы Коши ) называют решение этого уравнения, зависящего от n произвольных постоянных
и являющихся совокупностью всех частных решений данного д.у.. Существование общего решения также гарантируется теоремой Коши, при соблюдении ее условий.
Для получения частного из общего необходимо найти . Естественно, что условия теоремы Коши выполняются для линейного д.у. n-го порядка в области непрерывности его коэффициентов. Расшифровать!
9.2. Линейные однородные д.у. 2-го порядка.
9.2.1. Теоремы о частных решениях.
Рассмотрим линейное однородное д.у. 2-го порядка :
(2)
Имеют место следующие теоремы:
Теорема 1. Всякая линейная комбинация
нескольких частных решений однородного д.у. 2-го порядка также является его решением.
Доказательство: Подставляя y в (2) и группируя:
т.к теорема доказана.
В частности сумма и разность 2-х частных решений также является решеиями. Например - являются решениями д.у. , т.к. и - решения.
Теорема 2. Если известно одно частное решение д.у. однородного ( ненулевое ), то можно понизить порядок этого д.у. на единицу.
Док-во: Подстановка , где z – новая неизвестная функция приведет к :
подставляя получим:
Далее, пусть и и разделим все уравнение на тогда:
, где т.е. получили д.у. 1-го порядка относительно u.
9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.У.
Определение: Ф.С.Р. однородного д.у. 2-го порядка называется всякая пара частных решений этого уравнения, отношение которых не равно постоянной. Такие решения также называют линейно-независимыми.
Например:
и частные решения образуют
Ф.С.Р., а
и - нет.
Если - Ф.С.Р. то - также будет Ф.С.Р.
Действительно, пусть , где , но тогда , что и требовалось доказать.
Таким образом, если уравнение имеет одну ФСР, то оно имеет их бесконечно много. Всякое дифференциальное линейное однородное уравнение имеет нулевое решение , но оно не входит ни в одну фундаментальную систему.
Определение: Определителем Вронского (вронскинианом) системы двух частных решений и уравнения (2) называют
.
Свойства определителя Вронского:
Если и не образуют фундаментальной системы (т.е. являются линейно зависимыми, то их определитель Вронского тождественно равен нулю:
.
Если , то решения и – линейно зависимы.
Пусть или
.
Если .