2.2 Расчет трехфазных линейных электрических цепей переменного тока

В цепи, изображенной на рисунке Б2, потребители трехфазного тока соединены треугольником.

Известно линейное напряжение U_Ф = 127 В и сопротивления фаз: R_CA = 120 Ом, X_LAB = 80 Ом, X_LCA = 160 Ом, X_CBC = 250 Ом, X_CCA = 60 Ом.

Определить полные сопротивления фаз, фазные и линейные токи и ток в нейтральном проводе, активную, реактивную и полную мощности каждой фазы и всей цепи.

Решение:

При соединении трехфазной цепи треугольником расчет будем вести символический методом.

1. Модули фазных напряжений при соединении треугольником равны линейным напряжениям

U_AB = U_BC = U_CA = U_Ф = 127 В.

Комплексы данных напряжений запишем из условия, что вектор совмещен с действительной осью комплексной плоскости,

В;

В;

В;

2. Вычислим комплексы фазных сопротивлений:

Ом,

где Z_AB = 80 Ом – полное сопротивление фазы А;

φ_АB = 90° - угол сдвига фаз между током и напряжением в фазе A.

Аналогично определяем:

Ом,

где Z_BC = 250 Ом, φ_BC = -90°;

Ом,

где Z_CA = 156.2 Ом, φ_CA = 39.8°.

3. Определяем фазные токи:

A,

модуль I_AB = 1.59 А, аргумент ψ_АB = -90°,

A,

модуль I_BC = 0.51 А, аргумент ψ_BC = -30°,

A,

модуль I_CA = 0.81 А, аргумент ψ_CA = 80.2°.

4. Находим линейные токи из уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа для узлов А, В, С:

A;

модуль I_A = 2.39 А, аргумент ψ_А = -93.3°,

A;

модуль I_B = 1.4 А, аргумент ψ_B = 71.7°,

A;

модуль I_C = 1.1 А, аргумент ψ_C = 106°.

5. Вычисляем мощности фаз и всей цепи:

В∙А,

где S_AB = 201.61 B∙A; P_AB = 0 Вт; Q_AB = 201.61 вар;

В∙А,

где S_BC = 64.52 B∙A; P_BC = 0 Вт; Q_BC = -64.52 вар;

В∙А,

где S_CA = 103.26 B∙A; P_CA = 79.32 Вт; Q_CA = 66.1 вар;

B∙A,

где S = 218.13 B∙A; P = 79.32 Вт; Q = 203.2 вар.

6. Строим в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов.

Векторы фазных токов , , строятся под углами ψ_АB, ψ_BC, ψ_CA к действительной оси. К концам векторов , , пристраиваются отрицательные фазные токи согласно уравнениям:

; ;

Замыкающие векторные треугольники векторов , , представляют в выбранном масштабе линейные токи.

Выбираем масштаб: M_I = 0.4 А/см.

см; см; см;

Рисунок 2.4 − Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений

на комплексной плоскости

3 Исследование переходных процессов в электрических цепях

Электрическая цепь содержит катушку с сопротивлением R = 40 Ом и индуктивностью L = 0.8 Гн, R_p = 60 Ом, напряжение источника питания U = 100 В.

Определить закон изменения тока и ЭДС самоиндукции в цепи. Определить практическую длительность переходного процесса и энергию магнитного поля при t = 3τ. Схема цепи приведена на рисунке Б3.

Решение.

1. Устанавливаем переключатели в положение 1 (под включение катушки к источнику постоянного напряжения).

До замыкания переключателя в положение 1 ток в цепи был равен нулю. В первый момент после замыкания переключателя в положение 1, т.е. в момент начала переходного процесса (t = 0), ток в цепи будет таким же, как и в последний момент до начала коммутации, т. е. i₀ = 0.

После коммутаций ток стремится достигнуть величины установившегося тока (i_yст), но на основании первого закона коммутации изменяется не скачком, а постепенно.

Согласно схеме

A,

Чтобы найти закон изменения переходного тока, запишем уравнение в общем виде

В этой формуле

где i_св – свободная составляющая тока;

А – постоянная интегрирования;

е = 2.71 – основание натурального логарифма;

τ – постоянная времени переходного процесса,

, где R – величина сопротивления, через которое проходит переходный ток;

t — текущее время.

Определяем постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение примет вид:

, т.к. е⁰ = 1

Значит, А = i₀ – i_уст = 0 - I, то есть А = -I

Запишем уравнение (закон изменения переходного тока) при включении катушки

;

В нашем случае

Находим постоянную времени переходного процесса

с.

Практическая длительность переходного процесса t = 5τ = 5∙0.02 = 0.1 с

Строим график переходного тока i = f(t), задавшись моментом времени t = 0, t = τ, t = 2 τ, t = 3τ, t = 4τ, t = 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 3.1.

Таблица 31

t, c	0	τ	2τ	3τ	4τ	5τ
i, A	0	1.58	2.162	2.376	2.454	2.483

Закон изменения ЭДС самоиндукции можно получить из формулы

В нашем случае

Значения е для заданных значений времени сведены в таблицу 3.2.

Таблица 3.2

t, c	0	τ	2τ	3τ	4τ	5τ
eL, B	-100	-36.788	-13.534	-4.979	-1.832	-0.674

Согласно полученным результатам строим графики зарядного напряжения и тока в зависимости от τ (рисунок 3.1)

Из построенных графиков e_L(t) и i(t) можно для любого момента времени определить значения e_L и i.

Рисунок 3.1 Графики зависимости u_C = f(t) и i = f(t)

Энергия магнитного поля в момент времени t = 3τ:

Дж

2. Переключаем переключатель из положения 1 в положение 2 (отключаем катушку от источника постоянного напряжения при одновременном ее замыкании на сопротивление).

В этом случае мы отключаем цепь от источника и при переключении в положение 2 в образовавшемся контуре ток поддерживается за счет энергии, накопленной в магнитном поле катушки. Энергия магнитного поля непрерывно уменьшается, так как в активном сопротивлении контура идет необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую.

В этом случае i_уст = 0, т.к. при отключении цепи от источника ток в цепи будет равен нулю.

Тогда

где с – постоянная времени переходного процесса.

Определим постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение примет вид:

, т.е. i₀ = A,

но А – согласно первому закону коммутации ток в первый момент коммутации будет таким, каким был в последний момент до коммутации. Значит, А = 2.5 А, тогда А

Длительность переходного процесса

t = 5τ = 5∙0.008 = 0.04 с.

Строим график i=f(t), задавшись моментом времени t = 0, t = τ, t = 2 τ, t = 3τ, t = 4τ, t = 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 3.3.

Таблица 3.3

t, c	0	τ	2τ	3τ	4τ	5τ
i, A	2.5	0.92	0.338	0.124	0.046	0.017

В соответствии с законом изменения ЭДС самоиндукции получим

В нашем случае

Строим график e_L = f(t), задавшись моментом времени t = 0, t = τ, t = 2 τ, t = 3τ, t = 4τ, t = 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 3.4.

Таблица 3.4

t, c	0	τ	2τ	3τ	4τ	5τ
eL, B	100	36.788	13.534	4.979	1.832	0.674

Согласно полученным результатам строим графики разрядного напряжения и тока в зависимости от τ (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 − График зависимости u_C = f(t) и i = f(t)

Энергия магнитного поля в момент времени t = 3τ:

Дж

Заключение

В данной курсовой работе был проведен анализ линейной электрической цепи постоянного тока, линейных электрических цепей переменного тока – однофазной и трехфазной, нелинейной электрической цепи постоянного тока, исследованы переходные процессы в цепи, содержащей емкость. В ходе работы были произведены расчеты параметров электрических цепей, проведена проверка результатов расчетов, построены векторные диаграммы токов и напряжений – для линейных цепей переменного тока, потенциальная диаграмма – для линейной цепи постоянного тока, произведен расчет нелинейной цепи графическим методом, приведены графики зависимостей тока и напряжения – при исследовании переходных процессов.

Литература

1. Ф.Е. Евдокимов. Теоретические основы электротехники. - М.: “Высшая школа“, 1981 г.

2. В.С. Попов. Теоретическая электротехника. – М.: “Энергия”, 1978 г.

3. Ю.В. Буртаев, П.И. Овсянников. Теоретические основы электротехники. – М.: “Энергоатомиздат”, 1984 г.

4. Л.А. Частоедов. Электротехника. – М.: “Высшая школа”, 1984 г.

5. М.Ю. Зайчик. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике. – М.: “Энергоатомиздат”, 1988 г.

6. Е.А. Лоторейчук. Теоретические основы электротехники. М.: “Высшая школа“, 2000.

7. Синдеев Ю.Г., Граховский В.Г. Электротехника, – М., 1999.

8. ГОСТ 21.101-93 Основные требования к рабочей документации

9. ГОСТ 2.105-95 Общие требования к текстовым документам.

10. Попов В.С. Теоретические основы электротехники. – Мн.: “Атомоэнергоиздат”, 1990.

11. Усатенко С.Т., Каченюк Т.К., Терехова М.В. Выполнение электрических схем по ЕСКД: Справочник. – М.: Издательство стандартов, 1989.

12. Шебес М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учебное пособие. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: “Высшая школа“, 1982.