1.1.2 Применение метода контурных токов
Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n-1. Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока – контурного тока, являющегося расчетной величиной.
В заданной цепи (рисунок 1.1) можно рассмотреть три контура-ячейки (ACDA, ABCA, BCDB) и ввести для них контурные токи Ik1, Ik2, Ik3.
Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры – это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей. Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.
На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:
стрелками указываем выбранные направления контурных токов Ik1, Ik2, Ik3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;
составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.
I k1(R1 + r01 + R4 + R5) – Ik2R4 – Ik3R5 = E1
-Ik1R4 + Ik2(R2 + r02 + R3 + R4) – Ik3(R2 + r02) = E2
-Ik1R5 – Ik2(R2 + r02) + Ik3(R2 + r02 + R5 + R6) = -E2
П
одставляем
в уравнение численные значения ЭДС и
сопротивлений.
86∙Ik1 – 42∙Ik2 – 25∙Ik3 = 30
-42∙Ik1 + 141∙Ik2 – 65∙Ik3 = 40
-25∙Ik1 – 65∙Ik2 + 142∙Ik3 = -40
Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и частные определители ∆1, ∆2, ∆3.
Вычисляем контурные токи:
A;
A;
A;
Действительные токи ветвей:
I1 = Ik1 = 0.597 A;
I2 = Ik2 – Ik3 = 0.482 – 0.044 = 0.438 A;
I3 = Ik2 = 0.482 A;
I4 = Ik1 – Ik2 = 0.597 – 0.482 = 0.115 A;
I5 = Ik1 – Ik3 = 0.597 – 0.044 = 0.553 A;
I6 = Ik3 = 0.044 A.
1.1.3 Применение метода наложения.
По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.
а) Определяем частные токи от ЭДС Е2 при отсутствии ЭДС Е1, т. е. рассчитываем цепь по рисунку 1.2. Решаем задачу методом «свертки».
R101 = R1 + r01 = 16 + 3 = 19 Ом
В заданной электрической цепи сопротивления R101, R4 и R5 соединены в треугольник, который для упрощения преобразуем в звезду. Определяем сопротивления:
Ом
Ом
Ом
R6C = R6 + RC = 57.523 Ом
R3B = R3 + RB = 43.279 Ом
Ом
Ом
Ток источника
А
Вычисляем остальные токи ветвей:
А
А
А
Рисунок 1.2 − Схема линейной электрической цепи
постоянного тока без источника ЭДС E1
А
А
б) Определяем частные токи от ЭДС Е1 при отсутствии ЭДС Е2, т.е. рассчитываем простую цепь по рисунку 1.3. Решаем задачу методом «свертки».
R202 = R2 + r02 = 63 + 2 = 65 Ом
В заданной электрической цепи сопротивления R202, R3 и R4 соединены в треугольник, который для упрощения преобразуем в звезду. Определяем сопротивления:
Ом
Ом
Ом
Рисунок 1.3 − Схема линейной электрической цепи
постоянного тока без источника ЭДС E2
R6C = R6 + RC = 63.525 Ом
R3B = R3 + RB = 44.362 Ом
Ом
Ом
Ток источника:
А
Вычисляем остальные токи ветвей:
А
А
А
А
А
Вычисляем токи ветвей исходной цепи (рисунок 1.1), выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление:
I1 = I'1 + I"1 = 0.597 A; I2 = I'2 + I"2 = 0.438 A;
I3 = I'3 + I"3 = 0.482 A; I4 = -I'4 + I"4 = 0.115 A;
I5 = I'5 + I"5 = 0.553 A; I6 = -I'6 + I"6 = 0.043 A.