28. Геометричні побудови на площині і в просторі. Методика розв’язування задач на побудову.

В задачах на побудову мова йде про побудову геометричної фігури за допомогою даних інструментів креслення. Такими інструментами частіше всього є лінійка і циркуль. Розв'язання задач полягає не стільки в побудові фігури, скільки у вирішенні питання, як це зробити, і відповідним доведенням. Задача вважається розв'язаною, якщо вказано спосіб побудови фігури і доведено, що в результаті вказаних побудов дійсно здобувається фігура з потрібними властивостями

До основних задач на побудову в дев'ятирічній школі відносять: на даній прямій від даної точки відкласти відрізок даної довжини; побудову трикутника за даними сторонами; побудову кута, рівного даному; побудову бісектриси даного кута; поділ відрізка пополам; побудову перпендикулярної прямої; побудову трикутника за двома сторонами і куту між ними; побудову трикутника за стороною і прилеглими кутами; побудову прямокутного трикутника за гіпотенузою і катетом; побудову прямокутного трикутника за гіпотенузою і прилеглим донеї гострим кутом; через дану точку провести пряму паралельну даній прямій; поділ дуги кола пополам; побудову дотичної до кола в даній точці; побудову дотичної до кола з даної точки поза колом; поділ відрізка в даному відношенні; побудову відрізка, четвертого пропорціонального до трьох даних;

Задачі на побудову діляться на два типи; метричні і позиційні.

Метричні - положення шуканої фігури не залежать від положень даних і може бути вибрано на площині довільно. Прикладом метричної є задача на побудову трикутника за трьома сторонами. Позиційні - положення шуканої фігури залежить від положення даних: побудову дотичної до кола в даній точці.

Методика розв'язування задач на побудову: починається з геометрії 7 класу, потім, починаючи з 8 класу, задачі на побудову входять в склад тем, які вивчаються. Розв'язуючи задачі на побудову, потрібно пояснювати сутність термінів "побудувати точку", "побудувати пряму", "дано точку", "дано пряму".

Аналіз підручників і посібників з геометрії показав, що автори використовують в основному індуктивний шлях у викладені матеріалу, який відноситься до геометричних побудов. Учні спочатку вивчають конкретні види побудов: відкладання наданому промені від його початку відрізка, рівного даному; побудова кута рівного даному; побудова бісектриси кута; побудова перпендикулярних прямих; побудова середини відрізку; побудова трикутника за трьома елементами. Тільки після цього учні знайомляться з загальною ідеєю геометричної побудови; пропонується схема, по якій розв'язують задачі на побудову циркулем і лінійкою. Ця схема складається з чотирьох частин: аналіз, побудова, доведення, дослідження.

І. Аналіз - це підготовчий етап Метою а є встановлення таких залежностей-між елементами шуканої фігури і даними задачі, які дозволяли б побудувати цю фігуру. Аналіз задачі полягає в тому, що припускають її розв'язання і знаходять різні наслідки (або передумови) цього припущення, а потім, в залежності від виду цих наслідків, намагаються знайти шлях відшуку розв'язання поставленої задачі.

II. Побудова за наміченим планом.

3. Доведення того, що побудована фігура задовольняє умовам задачі.

4. Дослідження задачі, тобто вияснення питань про те, чи при будь-яких даних задача має розв'язок, а якщо має, то скільки?

29 Методика вивчення степеневої функції. Ірраціональні рівняння і нерівності

З окремими випадками степеневої функції учні ознайомлювалися в 7 і 8 класах (у = х², у =х³ , у = ). При стало­му дійсному показнику р і змінному додатному х маємо функцію у = х^р, яку називають степеневою.

Властивості степеневої функції залежать від заданого значення р.

Доцільно розглянути різні можливі множини значень.

І. Нехай р — натуральне число.

Назвімо властивості функції.

1. Область визначення функції - множина всіх дійсних чисел. Область значень залежить від парності чи непарності р. Якщо р — парне, то область значень у=х^р є множиною невід'ємних чи­сел, а якщо непарне, то – множиною R всіх дійсних чисел.

2. Функція парна при парному р і непарна - при непарному/?.

3. При х = 0 і у = 0, при х = 1 і у = 1, тобто всі графіки степене­вих функцій проходять через початок координат і точку (1; 1).

4. При парному p функція зростає на проміжку [0; + ) і спадає на проміжку (- ; 0].

При непарному p функція зростає на всій області визначення.

5. При парному р графіки степеневих функцій схожі з графі­ком функції у = x², а при непарному - з графіком функції у=x³.

II. Нехай p - ціле від'ємне число.

У цьому випадку функція у = х^p визначена на множині всіх дійсних чисел, крім х=0. Коли p - парне від'ємне число, множиною значень функції є множина всіх додат­них чисел. Функція парна на області визначення і графік, скла­даючись з двох віток, симетричний щодо осі у; y=x^p зростає за x (- ;0) і спадає за х (0; + ). Коли р - непарне від'єм­не число, множиною значень функції є об'єднання

двох числових проміжків (- ; 0) і (0; + ). Функція непарна, спадна на всій області визначення, графік її симетричний стосов­но початку координат.

III. Нехай р - дробове додатне число, тобто р = , де т і п - натуральні числа.

З урахуванням означення степеня з дробовим показником сте­пенева функція матиме вигляд у=х =. 3 окремим випадком такої функції (у= ) учні ознайомились в курсі алгебри 8 класу.

При р = , р = степенева функція має вигляд у= , у= відповідно. Графіки двох останніх функцій схожі за формою з графіком функції y= .

Рівняння, в яких під знаком кореня міститься змінна (невідо­ма), називають ірраціональними.

Наприклад: + 3 = 0, = + х — ірраціональні рів­няння.

Розв'язування ірраціональних рівнянь ґрунтується на приве­денні їх за допомогою деяких перетворень до раціонального рів­няння. Як правило, це досягається піднесенням обох частин ірра­ціонального рівняння до одного і того самого степеня (інколи декілька разів).

При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня одер­жане рівняння може мати корені, що не задовольняють даному рівнянню. Такі корені називаються сторонніми для даного рівнян­ня. (Це відбувається тому, що із рівності парних степенів двох чисел не слідує рівність цих чисел. Наприклад: (-5)² = 5², але (-5) ≠ 5.Тому слід обов'язково робити перевірку одержаних корені