1. Аксіоматична будова шкільного курсу стереометрії. Наслідки аксіом стереометрії

Аксіоматичний метод - спосіб побудови наукової теорії, при якій в її основу покладені деякі вихідні положення (судження) - аксіоми або постулати, з яких всі останні твердження цієї теорії (теореми) повинні виводитися чисто логічним шляхом за допомогою доведення

Аксіоматичний метод використовувався ще Евклідом, але лише у відносно недавній час він пройняв і інші області математики. Так, в основу побудови всієї математики Н. Бурмакі поклав аксіоматичний метод

Аксіоматична побудова деякої теорії здійснюється таким чином:

а) вибираються основні (початкові) поняття і відношення даної теорії, які не означаються;

б) виділяються деякі початкові твердження - аксіоми, які установлюють зв'язок між початковими поняттями і відношеннями, аксіоми приймаються без доведень;

в) всі знов ввідні поняття означаються через початкові або через раніше означені поняття і відносини, всі нові твердження теорії (теореми) доводяться на основі раніше введених понять і аксіом або раніше доведених теорем.

Побудова теорії на основі аксіоматичного методу називається дедуктивною. Основними фігурами в просторі є точка, пряма і площина.Уявлення про точки і прямі ви маєте з курсу планіметрії. Нагадаємо, що точки позначаються великими латинськими буквами, наприклад, точки А, В, С...; прямі позначаються малими латинськими буквами, наприклад, прямі а, b, с..., або двома великими буквами, наприклад, АВ, ВС, CD...Як і будь-яка геометрична фігура, площина складається з точок. Якщо точка А лежить у площині α, говорять, що площина α проходить через точку А, і записують: А α. Якщо точка А не лежить у площині α то записують: А α.

Якщо кожна точка прямої а лежить у площині α , говорять, що пряма а лежить у площині α , і записують: а α. Запис а α означає, що пряма а не лежить у площині α.

Як і в планіметрії, властивості основних фігур у стереометрії виражаються аксіомами.

Взявши яку-небудь площину (наприклад, площину підлоги класної кімнати), ми можемо вказати точки, які належать цій площині, і точки, які їй не належать. Тому однією із властивостей площини є аксіома С₁:

Яка б не була площина, існують точки, які належать цій площині, і точки, які не належать їй.

Розглянемо другу аксіому стереометрії С₂:

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Наочною ілюстрацією цієї аксіоми є перетин двох стін, стіни і підлоги класної кімнати.

Ніяких інструментів, якими можна було б проводити у просторі площини, немає. Тому вираз «можна провести площину» вживається у розумінні «існує площина».

Третя аксіома стереометрії С₃ стверджує:

Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Н аслідком з аксіоми с3 є Теорема про існуванню площини, яка проходить через дану пряму і дану точку: Через пряму і точку, яка не належить їй, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Нехай АВ – дана пряма і С – точка, яка їй не належить Доведення (існування площини)

Твердження	Аргумент
Візьмемо точку D, яка лежить на прямій АВ	І
Через точки D і С проведемо пряму DC	І
Через прямі АВ і DC проведемо площину α	С3

Доведення (єдиність площини)

Доведемо від супротивного. Припустимо, що існує дві площини α і β , які проходять через пряму АВ і, точку С. За аксіомою С₂ площини α і β перетинаються по прямій, якій належать А, В, С, що суперечить умові. Отже, площина, яка проходить через пряму і точку, що не належить прямій, єдина. .