24 Методика навчання елементів комбінаторики, початків теорії ймовірностей та вступу до статистики у курсі математики загальноосвітньої школи. Розв’язати рівняння:

На теорії ймовірностей вже давно ґрунтуються різні галузі науки і виробництва. На цих розділах науки ґрунтується сучасна фізика, механіка, астрономія, обчислювальна математика, економіка, військова справа.

Чинна шкільна програма з математики передбачає вивчення початків теорії ймовірностей в 11 класі в курсі алгебри і початків аналізу.

Мстою вивчення теми є введення основних понять теорії ймовірностей, поняття про теорію ймовірностей як науку, доведення теорем додавання та множення ймовірностей, теореми про ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій, введення поняття про класичну ймовірність і закону великих чисел; навчання учнів обчислюванню ймовірностей випадкових подій. При цьому учні мають:

• отримати уявлення про випробування та випадкові події; рівноможливі (рівноймовірні), елементарні події: схему Бернуллі;

• знати означення вірогідної та неможливої подій; класичне означення ймовірності; теорему додавання ймовірностей несумісних подій; означення протилежної події; теорему множення незалежних подій; теорему про ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій: означення взаємно незалежних випробувань; статистичне означення ймовірності; закон великих чисел;

• уміти обчислювати за класичним означенням імовірність події;використовувати теореми додавання та множення для обчислення ймовірностей подій; знаходити у найпростіших випадках імовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій.

В 11 класі основною метою вивчення теми «Початки теорії ймовірностей» є сформувати в учнів уявлення про основні поняття теорії ймовірностей і виробити вміння застосовувати їх до розв'язування простих задач.

Методика вивчення теорем. передбачено вивчення таких тверджень (теорем):

1. теорема додавання ймовірностей несумісних подій і два наслід­ки з неї;

2. теорема множення ймовірностей і наслідок з неї;

3. теорема множення ймовірностей для незалежних подій;

4. теорема про ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій;

5. теорема про ймовірність здійснення принаймні однієї з не залеж­них подій;

6. формула Бернуллі (розглядається без доведення).

Досягнення кожним випускником середньої школи розуміння статистичного характеру масових процесів та їхніх законів у навколишньому світі - це основна мета вивчення елементів статистики в школі.

Програмою з математики вступ до статистики передбачено вивчати в 11 класі. Навчальний матеріал мас такий зміст: статистика та її методи; набір експериментальних даних, вибірка; наочне подання статистичного розподілу; точковий мода і медіана; середні значення (середнє арифметичне, середнє квадратичне); завдання математичної статистики. Відповідно до шкільної програми в школі вводяться основні поняття описової статистики.

25 Вимірювання многокутників. Площа многокутника і її аксіоми. Теорема існування і єдиності.

Матеріал, який винесено для засвоєння на урок, традиційно ви­вчався в темі «Площі» перед вивченням формул площ окремих многокутників. У цьому матеріалі зібрані всі відомості про загаль­ний зміст та властивості поняття «площа многокутника», які учні здобули під час вивчення математики в школі впродовж поперед­ніх років навчання. Деякі з цих властивостей учні сприймали та використовували на інтуїтивному рівні, інші з них — формулюва­лись у вигляді тверджень під час вивчення теми «Площі» у 5 класі. На цьому уроці всі ці відомості повторюються, узагальнюються та систематизуються відповідно до загальної логіки вивчення геомет­ричних понять (див. Геометрія в таблицях, Є. П. Нелін, таблиця І). Слід відзначити, що попри традиційний зміст, матеріал уроку, по­даний у підручнику (п.16.1), має більш високий науковий рівень (вводиться поняття аксіоми площ, а зміст поняття площа много­кутника, формулюється як «...додатна величина, числове значен­ня якої задовольняє аксіоми площ»). Також цей матеріал (порівня­но з відповідним матеріалом традиційного підручника) доповне­но поняттями рівновеликих многокутників та рівноскладених мно­гокутників, а також властивостями цих понять для многокутни­ків

Фігуру утворену замкнутою ламаною лінією разом з частиною площини обмеженої цією лінією називають плоским многокутником

Правильним многокутником називають многокутник у якого всі сторони рівні і усі кути рівні

Геометрична фігура називається простою, якщо її можна розбити на кінцеве число плоских трикутників (рис. 3).

Для простих фігур площа — додатна величина, чисельне зна­чення якої має такі властивості:

1. Рівні фігури мають рівні площі.

2. Якщо фігура розбивається на частини, які є простими фігурами, то площа фігури дорівнює сумі площ її частин

26 Геометричні величини у стереометрії (кути, площі поверхонь, об’єми)

У курсі геометрії 10-11 класів розглядають величини трьох видів: кути (двогранні кути, кути між двома прямими в просторі, прямою і площиною), площі поверхонь та об’єми багатогранників і тіл обертання.

Вимірювання кутів між прямими в просторі, прямою і площиною, двогранних кутів фактично зводиться до обчислення плоских кутів. У частини учнів виникають труднощі у зв’язку з побудовою лінійного кута даного двогранного, коли такий кут задано в задачах, пов’язаних з багатогранниками. Обгрунтувння цієї побудови пов’язане із застосуванням теореми про три перпендикуляри. Тому доцільно спеціально розглянути вправи, пов’язані з побудовою лінійного кута даного двогранного. Труднощі у багатьох учнів виникають також при виборі кута між похилою і площиною, якщо такий кут розміщено в нестандартному положенні. Зокрема, учні майже завжди правильно позначають кут між бічним ребром і площиною основи піраміди, і багато з них не можуть правильно позначити кут між бічним ребром трикутної піраміди і протилежною гранню.

Щодо площ поверхонь геометричних тіл, то обчислення площ поверхонь багатогранників не становить труднощів, оскільки задача зводиться до обчислення площ граней. Площі поверхні циліндра і конуса також легко обчислити за допомогою їхніх розгорток. Обчислення площі сфери дещо складніше. Проте для всіх тіл обертання важливо вміти знаходити відповідні формули площ поверхонь, використовуючи підхід, аналогічний доведенню формули площі круга. Тільки для тіл обертання доводиться вписувати відповідно правильну н-кутну призму (для циліндра), правильну н-кутну піраміду (для конуса) і описувати опуклий багатогранник (для сфери). У цьому разі також використовується ідея граничного переходу.

Об’єми тіл. Перше уявлення про об’єми тіл та їх обчислення учні дістають у курсі математики 5 класу у зв’язку з вивченням прямокутного паралелепіпеда. Наприкінці 9 класу розглядають початкові відомості стереометрії, без доведення вивчають геометричні величини. В 11 класі учні повертаються до вивчення об’ємів на дедуктивній основі. Аналогічно введенню поняття площі фігури в курсі планіметрія запроваджується поняття об’єму спочатку простих тіл. Так само формулюється означення об’єму простого тіла як додатної величини, числове значення якої має три властивості. Далі доводиться формула об’єму прямокутного паралелепіпеда.

Практика виявляє, що доведення формул об’єму похилого паралелепіпеда методом перетворення його додатковими побудовами на прямокутний, як і доведення формули об’єму призми, не зумовлюють в учнів особливих труднощів, якщо використати заздалегідь виготовленні моделі, що ілюструють етапи перетворення. Значно складніше учні сприймають доведення формули об’єму трикутної піраміди.

27 Зображення просторових фігур на площині. Види паралельної проекції.

Для зображення просторових фігур на площині, як правило, користуються паралельним проектуванням. Беремо довільну пряму h, яка перетинає площину рисунка проводимо через довільну точку A фігури пряму, паралельну h.

Точка перетину цієї прямої з площиною рисунка буде зображенням точки A. Побудувавши таким чином зображення кожної точки фігури, дістанемо зображення самої фігури. Такий спосіб зображення фігури на площині і є паралельне проектування. У випадку, коли пряма h перпендикулярна до площини кажуть, що проведено ортогональне проектування.

Властивості паралельного проектування

1. Прямолінійні відрізки фігури зображуються на площині рисунка відрізками або точками. (Якщо відрізок, що проектується, паралельний напрямку проектування, він проектується в точку.)

2. Паралельні відрізки фігури зображуються на площині рисунка паралельними відрізками.

3. Відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається при паралельному проектуванні.

Зверніть увагу: при паралельному проектуванні не зберігаються ані довжина відрізка, ані величина кута.

Із властивостей паралельного проектування випливають такі твердження.

1. Будь-який трикутник може бути зображений довільним трикутником.

2. Якщо проектується у то медіани проектуються в медіани, середні лінії — у середні лінії, а висоти й бісектриси не проектуються у висоти й бісектриси. Проте основа проекції бісектриси поділяє сторону проекції трикутника у тому ж відношенні, що основа бісектриси поділяє сторону трикутника.

3. Паралелограм зображується паралелограмом. Прямокутник, квадрат, ромб — паралелограмом загального виду.

4. Трапеція зображується трапецією. Рівнобічність або прямокутність не зберігається.

Зверніть увагу, як побудувати зображення висот рівнобічної трапеції: на рисунку — зображення трапеції, отримане при паралельному проектуванні.

1) Будуємо

2) Будуємо точку - середину

3) — висота

4)

Отже, B1P1 і — зображення висот рівнобічної трапеції ABCD, проекцією якої є трапеція

Метод паралельного проекціювання розглянемо за допомогою рис. 3. Як і в попередньому випадку, вибирають площину проекцій π1. Замість центра проекцій S задають напрям проекціювання s, тобто вважають, що центр проекцій S віддалений у нескінченність. Тому проекціюючі промені паралельні між собою. Площина π1 і напрям s становлять апарат паралельної проекції. Щоб спроекціювати трикутник ABC на площину π1, через вершини А, В, С проводять проекціюючі промені паралельно напряму проекціювання s. Внаслідок перетину цих променів з площиною π1 утворюється трикутник А1В1С1, який являє собою паралельну проекцію трикутника ABC.

Паралельні проекції поділяють на прямокутні і косокутні. Якщо проекціюючі промені перпендикулярні до площини проекцій (рис. 4), то таке проекціювання називають прямокутним, а проекції, які при цьому одержують — прямокутними, або ортогональними. Якщо ж кут нахилу променів не дорівнює 90°, то такі паралельні проекції називаються косокутними. У кресленні користуються прямокутними проекціями