8.2. Постулаты н. Бора
Н. Бор дополнил планетарную модель Резерфорда путем введения предположений (постулатов), основанных как на экспериментальных фактах, например, линейчатый спектр испускания атома водорода или дискретность энергетических уровней электронов в атоме, открытых Д. Франком и Г. Герцем, так и учитывающих некоторые положения атомных моделей Томпсона и Резерфорда. Важно отметить, что эти предположения противоречат как законам классической механики, так и законам классической электродинамики.
Первый постулат:
"Из бесконечного множества электронных орбит, возможных с позиций классической механики, реализуются лишь те, на которых момент импульса электрона равен постоянной Планка, деленной на 2. Электрон, находящийся на такой орбите, двигается с ускорением, но не излучает электромагнитных волн (света). Такое состояние электрона и, соответственно, орбита, называются стационарными".
М атематически это записывается "Механика …".Лекция 5.
или ,
где , - масса и скорость электрона, ,
- радиус орбиты, - число, называе -
мое главным квантовым числом, при -
чем = 1, 2, 3, 4, . . . .
Второй постулат.
"Излучение испускается и поглощается в виде светового кванта энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Величина светового кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается квантовый скачок электрона".
.
Здесь - энергия электрона, соответственно, на и - орбитах, , - целые числа (номера орбит).
Первый постулат называют иногда постулатом стационарных состояний, а второй - правилом частот.
8.3. Боровская теория атома водорода
Дано: электрон движется по круговой орбите радиуса в поле атомного ядра с зарядом . (При модель соответствует атому водорода, при других - водородо-
подобному иону).
Найти: радиус орбиты, ско -
рость движения и энергию электро -
на.
Как отмечено разделе 8.1 стационарная орбита для электрона в атоме будет устойчивой, если в принятых на рисунке обозначениях
Величина при расчетах не учи -
тывается, т. к. является константой.
После преобразования . Используем первый постулат: и из
Отсюда
или .
Анализ:
1) Для первой орбиты водородного атома ( ) после расчета
т. е. величина порядка газокинетических размеров атома водорода.
2) Радиусы орбит электрона дискретны, т. к. n - целое число.
3) Радиусы допустимых орбит атома водорода относятся как квадраты порядковых номеров орбит:
R1 : R2 : R3 : R4 : . . . = 1 : 4 : 9 : 16 : . . .
4 ) Из следует или
, т. е. скорости электрона на разных орбитах разные и обратно пропорциональны номеру орбиты.
5) Из соотношения .
Вычислим внутреннюю энергию атома , где - потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром. Величина была определена нами ранее
(см. "Основы электродинамики". Лекция 1.),
тогда
.
Анализ:
1) Кинетическая энергия электрона на любой
орбите составляет половину от потенциальной.
, .
2) Полная энергия атома отрицательна и равна
.
3) и при возрастании , величина - увеличивается.
4) Энергия атома дискретна т. к. зависит от , где
5) Схема энергетических уровней атома водорода может быть представлена в виде (см. рисунок).
6) При переходе атома водорода
( ) из состояния в состоя-
ние испускается квант света
тогда частота излучения
т. е. получается обобщенная
формула Бальмера, причем постоянная Ридберга .
7) Спектр испускания атома водорода можно схематически изобразить в виде переходов электрона с одного энергетического уровня на другой, т. е.
серия Лаймана ( = 94 - 122 нм).
Переходы 2 - 7 . . . 1;
серия Бальмера ( = 397 - 656 нм).
Переходы 3 – 7 . . . 2;
серия Пашена ( = 1000 - 1900 нм).
Переходы 4 – 7 . . . 3;
серия Брекета ( = 2100 - 4000 нм).
Переходы 5 – 7 . . . 4;
серия Пфунда ( = 4650 - 7500 нм).
Переходы 6 – 7 . . . 5.
8) Из следует, что максимальное значение частоты ( ) получается при = 1. В этом случае . Это максимальная энергия, которую может излучать атом водорода. Полученное значение называется энергией ионизации.
Теория Бора сыграла огромную роль в создании атомной физики. С ее помощью были объяснены физическая природа характеристических рентгеновских спектров, расщепление спектральных линий в сильном магнитном поле (эффект Зеемана), молекулярные спектры и другие явления. Однако, наряду с определенными успехами, в теории Бора обнаруживаются существенные недостатки:
а) Состояние электрона в водородоподобной системе не может быть описано одним квантовым числом.
б) Внутренняя противоречивость – теория основывается на механическом соединении положений классической физики с квантовыми постулатами.
в) Ограниченность, т. е. ее невозможно применить к созданию теории других атомов, например, гелия – второго элемента периодической системы.
Очевидно, что теория Бора, объясняющая одни экспериментальные данные и не способная истолковать другие, представляет собой лишь переходной этап на пути создания последовательной теории атомных и ядерных явлений. Такой теорией явилась квантовая (волновая) механика, которая позволила не только объяснить многообразие явлений атомной и ядерной физики, но и вскрыть физическое содержание самих постулатов Бора.