Практическое занятие №2

Тени плоскости

Цель занятия: Научиться строить действительные и мнимые тени плоскости. Научиться строить тени, падающие от одного предмета на другой.

Продолжительность занятия 2 часа.

Рис.1.4

На рисунке показано построение теней треугольника АВС. Построив А_н, С_н и В_N (мнимая тень точки В),соединяем их прямыми и выделяем действительные тени. Точки перелома теней, лежащих на оси х, соединяем с тенью В_F .

Построение теней падающих от одного предмета на другой.

Способ секущих плоскостей.

Этот способ состоит в том, что параллельно лучу света проводятся вспомогательные плоскости, при помощи которых находятся точки пересечения лучей света с поверхностью (плоскостью), на которую падает тень .

Способ обратных лучей

Этот способ применяется там, где для отыскания теней пользуются тенями, падающими на какую-либо плоскость.

Рис.1.5

Пусть даны две прямые АВ и СD и требуется найти на прямой CD точку Е, на которую упала тень точки М прямой АВ. Построим тени, падающие на горизонтальную плоскость проекций от обеих прямых и, проведя обратный луч из точек Е_Н и М_Н пресечение теней, найдём на точки М и Е прямой СD, на которую упала тень точки М прямой АВ.

Если бы тень прямой АВ на горизонтальную плоскость проекций не пересекала тени прямой СD, то тень точки М прямой АВ не упала бы на прямую СD.

Итак, если падающие на одну плоскость тени двух предметов взаимно пересекаются, то от одного предмета на другой будет падать тень.

Практическое занятие №3 Тени геометрических тел

Цель занятия: Научиться строить действительные и мнимые тени геометрических тел.

Продолжительность занятия 8 часов.

Собственная тень

На прямой призме и прямом круговом цилиндре граница собственной тени определяется непосредственно на плане ( проекция на П₁).

.

Рис1.6 Рис.1.7

На чертеже, 1.6 показано определение собственной тени на видимой части боковой поверхности прямой правильной шестигранной призмы, обращённой к наблюдателю гранью. Из рассмотрения плана призмы видно, что левая и передняя грани освещены. Правая же грань находится в собственной тени, так как угол её наклона к фронтальной плоскости проекции больше 45, следовательно, ребро 1 является границей отделения собственной тени.

Образующая раздела света и тени на плане цилиндра проецируется точкой касания 1₁. (рис.1.6)

Для нахождения контура собственной тени конуса на рис.1.7 Под фронтальной его проекцией вычерчена половина окружности его горизонтальной проекции. Из точки D проведена прямая, параллельная очерковой образующей. После этого из точки пересечения с проведены две прямые под углом 45 к линии основания до пресечения с полуокружностью. Фронтальные проекции точек пересечения определяет основания образующих, которые формируют границу собственной тени на фронтальной проекции.

На рис 1.7 горизонтальная проекция конуса с падающей тенью поднята до совпадения обеих проекций в точке 0. Точки касания Е и F найдены путём проведения к окружности основания касательных из точки S_т, являющейся тенью от вершины конуса. Если соединить точки касания прямой, то эта прямая, наклоненная под углом 45 к горизонтальному направлению. а) б) в) г)

Рис.1.8

Соединив эту точку с точкой D, получим два подобных треугольника ВАО и СDО, в котором отрезки АВ и CD параллельны.

В зависимости от угла наклона образующей конуса к горизонтальной плоскости проекции (при принятом направлении лучей света параллельно диагонали куба) будет меняться тень.

Если угол меньше 3516 то вся поверхность конуса будет освещена (рис.1.8а ).

Если угол  равен 3516 то на поверхности конуса будет одна теневая образующая(1.8б).

Если угол  больше 3516 но меньше 45, то менее одной четверти поверхности конуса будет находиться в собственной тени(рис.1.8в).

Если угол  равен 45, то одна четверть поверхности будет находиться в собственной тени (рис. 1.8г).

Если угол  больше 45, то более одной четверти поверхности конуса, но менее половины будет находиться в собственной тени.(1.8г)

Тень сферы

Лучевая поверхность будет касаться сферы по окружности, плоскость которой будет перпендикулярна лучам света (рис.1.9). Заменим плоскость П₂ на плоскость П₄, параллельную лучам света. Тогда плоскость станет проецирующей и проекции окружности касания лучевого цилиндра поверхности шара изобразится на плоскость П₄. Горизонтальная проекция контура собственной тени сферы будет проекцией окружности-эллипсом, большая полуось которого равна радиусу сферы, а малая полуось определяется проекцией 0₁1₁ радиуса 01.

Рис.1.9

Лучевой цилиндр будет пересекаться с плоскостью П₁ по эллипсу, который определяет контур падающей тени на плоскость П₁. Большая полуось определяется тенью О_HМ₁ радиуса 01, а малая полуось равна радиусу сферы.

Так как лучи света равно наклонены к плоскостям П₁ и П_{2 ,} фронтальная и горизонтальная проекция контуров собственных теней одинаковы, т.е. 0₁1₁=0₂2₂. Контуры падающих теней на плоскости П₁ и П₂ будут эллипсами одинакового размера, т.е. О_HМ₁=О_NN₂.

Падающие тени

При построении теней геометрических тел контур собственной тени определяется цилиндрической или призматической (при освещении пучком параллельных лучей) лучевой поверхностью, огибающей данное геометрическое тело (касающейся данного геометрического тела). Причём линия огиба (линия касания) является контуром собственной тени, а линия пересечения лучевой поверхности плоскостью или поверхностью (на которые падает тень) – контуром падающей тени.

Тень призмы

Рис.1.10

Контуром собственной тени призмы будет ломаная 1 2 3 4 5 6 1 (1₁1₂, 2₁2₂, 3₁3₂, 4₁4, 5₁5₂, 6₁6₂, 1₁1₂) (рис.1.10). Построив тень этой ломаной линии, получим контур падающей тени.

Тень цилиндра

Контуром собственной тени будет линия 1 2 3 4 5 6 7 8 1 (1₁1₂, 2₁2₂, 3₁3₂, 4₁4₂, 5₁5₂, 6₁6₂, 7₁7₂, 8₁8₂, 1₁1₂)(рис.1.11). Контур падающей тени получим, построив тень этой линии.

Рис.1.11

Тень пирамиды

Рис.1.12

Так как огибающая лучевой поверхности будет проходить через вершину пирамиды, находим мнимую тень S_N и проводим огибающие A₁S_N и B₁S_N прямые, которые определяют контур падающеё тени на плоскость П_1. Достраиваем падающую тень, соединяя точки перелома с тенью S_F вершины пирамиды. В собственной тени (в данном случае) находятся грани SАB.

Тень конуса

Найдя тень S_N вершины конуса, проводим касательные к его основанию, которые определяют тени на плоскости П₁ (рис. 1.13). Затем соединим точки перелома лежащие на оси х с тенью S_F ,действительной тенью вершины конуса. В собственной тени будет поверхность конуса.

Рис.1.13

Способ описанных поверхностей

При построении контуров собственныхъ теней тел вращения с криволинейной образующей применяется способ описанных поверхностей. Вокруг данной поверхности описывают конусы и цилиндры, касающиеся её по окружностям. Построив контуры собственных теней конусов и цилиндров, находят точки пересечения этих контуров с окружностями касания.

Пусть дана полусфера и требуется построить собственную тень. Описанный цилиндр определит точки 1и2 (1₁1₂ и 2₁2₂), принадлежащие контуру собственной тени полусферы. Описанный конус, образующие которого составляют угол 45 с плоскостью П_1, определит точки 3и4 (3₁ 3₂ и 4₁4₂), принадлежащие контуру собственной тени (рис.1.14 ).

Рис.1.14

Наивысшую точку собственной тени (на рис. не показано), определит конус, образующую которого составляют угол в 3516 с плоскостью П₁ . Соединяя найденные точки плавной кривой, получим искомый контур собственной тени. Имея собственную тень, легко построить (на рис. не показано) падающую.

Способ параллельных сечений

При построении контуров падающих теней тел вращения с криволинейной образующей применяется способ параллельных сечений (рис.1.15).

Рис.1.15

Пусть дано тело вращения и требуется построить падающую тень. Рассекая данное тело рядом горизонтальных плоскостей, строим тени сечений-окружностей на плоскости проекций, для чего находим тени центров окружностей (окружности и эллипсы), определяют контуры падающих теней на плоскости П₁ и П₂.

Имея падающую тень легко построить собственную (на рис.1.15 не построена) способом обратных лучей.