Тень прямой линии

Чтобы построить тень прямой линии на какую-либо плоскость или плоскость про­екций, нужно определить тени двух ее точек. Тенью прямой будет прямая линия, соединяющая эти точки (рис. 126). Пря­мую А_В_ можно вместе с тем рассматри­вать как след лучевой плоскости, которая проходит через данную прямую АВ.

Рис. 125 Рис. 126

Процесс построения тени отрезка пря­мой на две плоскости проекций рекоменду­ется вести в такой последовательности.

1. Строят тень отрезка на одну из плос­костей проекций, предполагая, что второй не существует. Так, в примерах, данных на рис. 127 и 128, сначала построена тень отрезка на плоскость П₁.

2. Если построенная тень пересекает ось х, то в этой точке тень преломится и с одной плоскости проекций перейдет на другую.

Точка преломления тени в рассматрива­емом примере обозначена через К_х. Установив, какая из двух теней крайних точек отрезка мнимая, определяют ее действи­тельную тень на второй плоскости проек­ций.

В эту точку и будет направлена преломившаяся тень прямой. На рис. 127 и 128 такой точкой является реальная тень В_П2.

3. Если отрезок прямой расположен в различных октантах, то прежде всего не­обходимо выделить ту его часть, которая расположена в первом октанте. Для этой цели приходится определить следы данно­го отрезка.

Рис. 127

Рассмотрим построение тени от прямых частного положения. Пусть перпендику­лярная к плоскости П₁ прямая АВ пе­ресекает эту плоскость в точке В (рис. 129,а). В этом случае точ­ка В совпадает со своей реальной тенью В_П1 на плоскости П₁. Тенью же точки А на ту же плоскость П₁ является точка А_П1. Соединив эти точки (В_П1 и А_П1), получим тень прямой АВ на плоско­сти П₁. Она совпадает с горизонтальной проекцией светового луча (световые лучи, проходящие через прямую АВ, образуют горизонтально проецирующую плоскость, которая пересекает П₁ по прямой, совпа­дающей с горизонтальной проекцией све­тового луча).

Рис. 128

Аналогично строим тень от прямой CD, перпендикулярной плоскости П₂

(рис. 129, б). Ее тень совпадает с фрон­тальной проекцией луча.

Нетрудно доказать, что тень от отрез­ка прямой, параллельного плоскости, равна и параллельна самому отрезку (рис. 129, в).

Рис. 129

Тень плоской фигуры

Пусть дана плоская непрозрачная треу­гольная пластинка (рис. 130). Для по­строения ее тени на плоскости  необхо­димо построить тени всех ее сторон. Тень периметра треугольника на плоскость  будет в общем случае также треугольни­ком. Вся площадь внутри этого конту­ра А_В_С_ - искомая тень пластинки. Контур этой падающей тени можно рассматривать как сечение лучевой призмы (ребра которой представляют собой све­товые лучи, проходящие через верши­ны заданного треугольника) плоскостью .

Построение тени треугольника на две плоскости проекций необходимо вести в той же последовательности, что была ре­комендована для построения тени прямой. Так, на рис. 131 и 132 прежде всего построена падающая тень треуголь­ника на плоскость П₁ в предположении, что плоскости П₂ нет.

Реальной будет та часть тени, которая расположена на переднем поле плоско­сти П₁. Затем строится тень треугольника на плоскость П₂, для чего в приводимом примере достаточно определить тень вер­шины В на плоскость П₂. Соединив В_П2 с точками преломления теней сторон АВ и ВС, заканчивают построение.

Исследуя взаимное расположение све­товых лучей относительно плоскости дан­ной фигуры, определяют освещенность проекций этой фигуры.

Пример определе­ния собственной тени треугольника ABC приведен на рис: 133. Прежде всего через точку D, лежащую внутри контура треу­гольника, проводят световой луч DE. Да­лее устанавливают относительное расположение луча DE и стороны АВ.

Рис. 130 Рис. 131

Горизонтальная проекция проецирую­щего луча, направленного перпендикуляр­но плоскости П₂ и проходящего через точ­ку пересечения фронтальных проекций АВ и DE, показывает, что сторона АВ ближе к зрителю, чем луч DE. Следовательно, та сторона треугольника, которая обращена к зрителю, стоящему перед треугольником и плоскостью П₂, будет в собственной те­ни. Вот почему на рис. 133 фронтальная проекция треугольника тонирована.

Проецирующий луч, перпендикулярный плоскости П₁ и проходящий через точку пересечения горизонтальных проекций АВ и DE, позволяет заключить, что видимая сверху горизонтальная проекция треугольника будет освещенной.

Рис. 132

Рис. 133

Метод обратных лучей

Метод обратных лучей успешно приме­няется при построении теней, падающих от одного предмета на другой.

Прежде всего строят тени заданных гео­метрических фигур на одну из плоскостей проекций и определяют точки пересечения теней. Через отмеченные точки проводят луч, направление которого противополож­но световым лучам. Каждый из обратных лучей, пересекая данные геометрические фигуры, определяет нужные для построе­ния тени точки.

Покажем применение этого метода на примере построения тени прямой на плос­кость треугольника. На рис. 134 построе­ны падающие тени треугольника ABC и прямой DE на плоскость . Через точ­ку К_, общую теням прямой DE и сторо­ны ВС, проведен обратный луч, пересека­ющий указанные прямые соответственно в точках К и К.

Рис. 134

Точка К представляет собой тень точ­ки К прямой DE на прямую ВС. Искомая же тень определяется точками К и Е, вторая из которых является пересечением прямой DE с треугольником.

Решение этой задачи на эпюре приведе­но на рис. 135 и 136. В первом случае тень прямой DE на плоскость треугольника построена методом обратного луча, а во втором - с помощью двух точек Е и D', в которых с плоскостью треугольника пе­ресекаются соответственно данная прямая и световой луч, проходящий через точ­ку D. Плоскости П₂ и П₁ являются проецирующими плоскостями, которые проводятся через прямую DE и луч для определения указанных точек. Так как точка D' оказалась за контуром треуголь­ника, то часть тени прямой находится на плоскости треугольника, а часть - на плоскости проекций.

Рис. 135 Рис. 136

Сопоставление двух решений позволяет заключить, что в первом случае отпадает необходимость определить точку пересече­ния светового луча, который проходит че­рез точку D, с плоскостью треугольника. Преимущества метода обратного луча ста­новятся более ощутимыми при построе­нии теней от многогранника на многогран­ник и определении собственных теней тел, ограниченных кривыми поверхностями.

Тени многогранников

Пусть некоторый многогранник SABC освещен связкой параллельных лучей (рис. 137). Требуется построить падаю­щую и собственную тени данного тетраэд­ра. Для этой цели через каждую его вер­шину проводим световые лучи параллель­но заданному направлению и находим точки их пересечения с одной из плоско­стей проекций, например с П₁. Так будут найдены тени вершин тетраэдра на плос­кость П₁.

Соединив их друг с другом, по­лучим тень проволочного каркаса многогранника. Но нам задан не «каркас» много­гранника, а непрозрачное тело, тенью кото­рого должна быть некоторая фигура. В рас­сматриваемом примере контуром падаю­щей тени будет треугольник (A_п1 B_п1 S_п1). Этот треугольник представляет собой се­чение лучевой призмы плоскостью П₁. Так как часть тени оказалась на задней по­луплоскости П₁, то пришлось дополнительно определить тень вершины S на плоскости П₂. Реальную тень соединяем с точками перелома тени на оси х. Множе­ство точек, общих для поверхности луче­вой призмы и данного многогранника, об­разует замкнутый контур, отделяющий ос­вещенную часть поверхности - контур собственной тени. Любой точ­ке К контура собственной тени соответ­ствует точка К_П1 на контуре падающей тени.

Следовательно, контур падающей тени является тенью контура собственной.

По первому легко определить и второй. Действительно, в нашем случае контур А_П1 – В_П1 – S_П2 – А_П1 ограничивает падающую тень, значит, ребра АВ, BS и SA будут отделять освещенные грани тет­раэдра от теневых, т. е. контуром собст­венной тени является замкнутая линия А - В - S - А.

Этот контур ограничива­ет грань ABS, которая окажется освещен­ной, так как она обращена к источнику света. Остальные грани тетраэдра нахо­дятся в собственной тени. Эпюрное реше­ние данной задачи представлено на рис. 138 где сначала построена тень тетраэдра на П₁, а затем с помощью реальной тени S_П2 найдена контур падающей тени на П₂.

Рис. 137 Рис. 139

Рис. 138

Построение теней упрощается, если основание многогранника расположено на плоскости проекций. В этом случае все вершины основания совмещены со своими тенями. Для построения тени пирамиды (рис. 139) достаточно найти тень ее вершины и полученную точку S_II1 соединить с крайними точками основания.

Грани пирамиды, к которым примыкает падающая тень, окажутся в тени собственной.