Методы построения Перспективы

1. Радиальный метод. Сущность этого метода заключается в определении точек пересечения лучей с картинной плоскостью, поэтому его часто называют методом следа луча.

На рис. 61 показано построение перспективы точки по заданным ее ортогональным проекциям.

Кроме ортогональных проекций точки А(А₁, А₂) на эпюре изображены горизонтальный след П₁ картинной плоскости П, проекции точки зрения S(S₁, S₂) и главной точки картины P(P₁, P₂).

Построив проекции луча SA (S₁A₁ и S₂A₂), определяют точку пересечения этого луча с плоскостью картины. Проекции найденной точки пересечения обозначены через (А)₁ и (А)₂.

Рядом с эпюром показана совмещенная с плоскостью чертежа картина П, на которой изображены ее элементы (основание, линия горизонта и главная точка Р).

Остается точку пересечения луча с картиной, найденную на эпюре, перенести на перспективный чертеж. Так как положение точки на плоскости определяется двумя координатами, то в качестве таких координат можно принять прямоугольные координаты с началом в точке Р₀ (Р₀  О¹О², Р₀Рh). Тогда по размерам отрезков l_A и z_A, снимаемых с эпюра, создается перспектива А точки А. Вторичная проекция находится с помощью отрезка z_A1. Этот отрезок определяет координату z точки пересечения картины и луча, направленного в горизонтальную проекцию точки А (эпюр на рис. 61).

Радиальный метод является простейшим методом построения перспективы в том смысле, что его применение не требует знания теории перспективы. Действительно, предмет, точка зрения и картинная плоскость изображались на эпюре. На том же эпюре создавались проекции проецирующих лучей и определялись точки пересечения их картиной.

Однако применение радиального метода, включающего многократное повторение одних и тех же построений, требует много времени и не обеспечивает должной точности. Достаточно сказать, что для построения перспективы отрезка прямой необходимо проделать десять элементарных операций, под которыми здесь следует понимать проведение прямой по линейке и построение отрезка, равного данному, с помощью циркуля. Радиальный метод оказывается рациональным при построении перспективы предмета, в плане которого имеется много не параллельных между собой линий.

2. Метод архитекторов. В практике работы архитектурных мастерских широко применяются метод построения перспективных изображений с использованием точек схода параллельных прямых. Этот метод принято называть методом архитекторов.

Так как создание перспективы предмета рекомендуется начинать с его вторичной проекции, то сущность рассматриваемого метода может быть показана на примере построения перспективы фигуры, расположенной на горизонтальной плоскости.

Ортогональные проекции такой фигуры, которую можно рассматривать как план некоторого здания, представлены на рис. 62. На том же эпюре изображены горизонтальный след картинной плоскости, проекции точки зрения и главной точки Р (Р₀).

Замечая, что линии контура плана могут быть разделены на два пучка параллельных прямых, определяем перспективы несобственных точек (F¹ и F²) каждого из пучков, причем точка F¹ является перспективой несобственной точки пучка параллельных прямых направления I, а точка F² – направления II. Обе точки найдены с помощью лучей SF¹ и SF², соответственно параллельных прямым направлений I и II. Лучи SF¹ и SF², будучи параллельными прямым, расположенным в горизонтальной плоскости, пересекут картину в точках, лежащих на линии горизонта h (рис. 63).

При построении перспективы без увеличения отрезки PF¹ и PF² на рис. 63 равны соответственно отрезкам P₀F¹₁ и P₀F²₁ (рис. 62).

Рис. 62 Рис. 63

В качестве вторых точек для построения перспективы каждой из прямых контура рекомендуется использовать характерные точки, в которых эти прямые пересекают плоскость картины, т.е. начальные точки прямых. Для этого горизонтальные проекции всех прямых продолжены до пересечения с одноименным следом П₁ картины. Так найдены точки N¹₀, N²₀, N³₀, N⁴₀ и N⁵₀, расположенные на основании картины.

Перенос этих точек с эпюра на картину можно проделать с помощью полоски бумаги, которую следует приложить прямолинейной кромкой к следу П’₁ картины и отметить на кромке точки N¹₀, N²₀, N³₀, N⁴₀, N⁵₀ и Р₀. Эту полоску бумаги переносим на рис. 63 и совмещаем ее кромку с основанием О¹ – О² картины так, чтобы точка Р₀ на полоске совпала с той же точкой на основании.

Остается построить перспективы прямых, пересечение которых определит вершины заданного контура. Так, точка пересечения перспектив прямых N⁴₀F² и N³₀F представляет собой перспективу точки

3. Аналогично найдены и остальные точки.

Итак, каждая точка плоской фигуры определяется пересечением прямых, принадлежащих двум различным пучкам параллельных линий.

Следует отметить, что в качестве второй точки для построения перспективы прямых не обязательно брать их начала. На рис. 64 и 65 дано построение перспективы того же контура в такой последовательности:

1. на линии горизонта картины (рис. 65) отмечают точки схода F¹ и F² пучков параллельных прямых направлений I и II; причем, как и ранее, отрезки PF¹ и PF² на рис. 65 равны соответственно отрезкам P₀F¹₁ и P₀F²₁ (рис. 64);

2. на основании О¹ – О² картины (рис. 65) определяют положение перспективы точки 1(1₁, 1₂), через которую проходит картинная плоскость. Для этого от основания главной точки картины – точки Р₀ – отложен вправо отрезок Р₀1₀, равный отрезку Р₀1₀ на эпюре;

3. так как через точку 1 (1₁, 1₂) проходят две линии различных пучков, то ее перспективу 1¹ соединяют с точками F¹ и F²;

4. следующая точка 2 (2₁, 2₂) расположена на прямой 1 – 2 первого направления, перспектива которой уже построена; для создания перспективы точки 2 в нее направляют из точки зрения луч (рис. 64) и отмечают точку пересечения горизонтальной проекции этого луча с одноименным следом П’₁ картины – точку 2₀. Этой точке на основании картины будет соответствовать так же обозначенная точка 2₀. Естественно, что отрезки Р₀2₀ на рис. 64 и 65 равны;

5. через точку 2₀ (рис. 65) проводят вертикальную прямую, которая пересекаясь с ранее построенной прямой 1’ – F’, определяет положение перспективы точки 2 – точку 2’.

В такой же последовательности получают перспективы и остальных точек.

Рис. 64 Рис. 65

Описанный путь построения перспективы плана характерен тем, что сначала создается перспектива прямой, а затем при помощи специального луча определяется точка на ней.

Указанным путем целесообразно сроить перспективу плана в случае, когда точки пересечения некоторых прямых с картиной оказываются за пределами чертежа.

Закончив построение вторичной проекции, следует перейти к изображению самого предмета.

На рис. 66 даны ортогональные проекции двух геометрических тел, план которых тождествен ранее рассмотренной фигуре. Не повторяя объяснений, относящихся к построению вторичной проекции, опишем процесс создания перспективы предмета.

Отметим только, что построение перспективы предмета (как и его вторичной проекции) в данном случае проведено с увеличением всех линейных размеров на картине в n раз. Это значит, что расстояние между основанием картины и линей горизонта на рис. 67 равно не Н, как на рис. 66, а nН. Отрезки PF¹ и PF² рис. 67 в n раз больше тех же отрезков на эпюре и т.д.

Рис. 66

На рис. 67, после того как была начерчена вторичная проекция, построение перспективы осуществляем в такой последовательности:

1. через все вершины вторичной проекции (точки 1’,2’,3’ и т.д.) проводим вертикальные прямые;

2. от точки 1 на проходящей через нее вертикали отложим отрезок 1A длиной nH₁: заметим, что отрезок 1A находится в плоскости картины, а масштаб увеличения принят равным n:1;

3. через точку A проводим прямую в точку схода F¹. На этой прямой с помощью вертикальной линии связи 2 – M находим точку M;

4. для того чтобы получить перспективы вертикальных ребер длиной Н₃, проходящих через точки 3; 4; 5' и 6, нужно через любое ребро провести вертикальную плоскость  и построить линию пересечения плоскости  с картиной П’ ( П’); затем, отложив на этой прямой от основания картины отрезок N₀N¹, равный заданной высоте Н₃ (с учетом масштаба), нужно провести в плоскости  горизонталь заданного уровня Н₃ до пересечения с перспективой взятого ребра. Так, на рис. 67 через вертикальную прямую, определяемую точкой 4, проводим плоскость , которая в данном случае совпадает с задней левой гранью предмета; прямая N₀F² представляет собой перспективу горизонтального следа плоскости ; на прямой N₀N (линии пересечения  и П) от точки N₀ откладываем N₀N – высоту ребра Н₃ (в нашем случае с учетом масштаба nH₃); соединив точки N и F², получим перспективу горизонтали уровня Н₃, пересечение которой с вертикальной прямой проходящей через точку 4, определяет точку Е. Этим и завершается процесс построения перспективы ребра 4 – E, несовмещенного с плоскостью картины;

5. используя попеременно то левую, то правую точки схода, проводим верхние горизонтальные ребра EG и GK видимых граней прямоугольного параллелепипеда;

6. повторяя построение, изложенное в n.4 строим перспективу ребра 7B;

7. соединяя точки В и F, получаем перспективу горизонтального ребра BL;

8. вычерчиваем перспективы двух параллельных наклонных прямых АB и ML.

Рис. 67

Проверкой точности построения является сходимость прямых АB и ML на вертикали, проеденной через точку схода F².

Особо следует выделить случай, когда высота горизонта равна нулю или настолько мала, что вторичная проекция предмета оказывается очень сжатой. На примере построения перспективы прямоугольного параллелепипеда покажем применение рекомендуемого в таких случаях опущенного плана.

Переход от ортогональных проекций (рис. 68) к перспективному изображению (рис. 69) имеет здесь одну особенность, заключающуюся в том, что вторичная проекция предмета создана не на предметной плоскости, которая в данном примере совпадает с плоскостью горизонта, а на некоторой вспомогательной горизонтальной плоскости, смещенной книзу от плоскости горизонта на произвольное расстояние Н.

Прямая О³О⁴ (см. рис. 69), параллельная линии горизонта, является линией пересечения вспомогательной плоскости с картиной; ее обычно называют опущенным основанием картины.

Рис. 68 рис. 69

Не повторяя изложенного ранее описания построений вторичной проекции и перспективы предмета, отметим, что при создании перспектив вертикальных ребер параллелепипеда высоту их, равную Н₁, откладывают не от опущенного основания, а от линии горизонта, которая в рассматриваемом примере совпадает с истинным основанием картины – прямой О¹О².

Метод архитекторов, обеспечивающий значительную точность перспективных изображений и, главное, сокращающий время их создания, не исключает радиального метода. Пользуясь методом архитекторов для построения перспективы предмета в целом, некоторые точки его можно построить с помощью радиального метода.

Применение метода архитекторов связано с некоторыми затруднениями лишь тогда, когда одна или обе точки схода F¹ и F² связок параллельных прямых оказываются за пределами чертежной доски.

Если размеры рабочего места позволяют показать только одну из точек схода, например F², то каждую точку вторичной проекции рекомендуется определять пересечением двух прямых, первая из которых принадлежит пучку с точкой схода F², а вторая является прямой любого другого пучка горизонтальных параллельных линий. Направление этого второго пучка должно быть лишь таким, чтобы точка схода его оказалась в пределах рабочего пространства. Обычно это бывает пучок прямых, перпендикулярных картине, точка схода которых расположена в главной точке картины. Как и прежде, все прямые первого и второго пучков определяются с помощью двух характерных точек: начальной и несобственной, что и сделано на рис. 70 и 71 при построении перспекти­вы схематизированной формы здания.

За переходом от ортогонального чертежа к перспективному можно проследить на примере точки А, которой посвящены специальные построения на рис. 70 и 71.

Рис. 70 Рис. 71

Прежде всего через, горизонтальную проекцию этой точки проведены прямые А₁N₀¹||S₁F₁² и А₁N₀² П₁ (рис. 70), пер­спективы которых построены с помощью начальных точек N₀¹, N₀² и бесконечно уда­ленных F² и Р.

Пересечение этих прямых определяет вторичную проекцию А₁ взятой точки.

Для построения перспективы точки вос­пользуемся вертикальной плоскостью , которая с картиной и предметной плоско­стью пересекается соответственно по пря­мым ( nП¹) и ₁ .Чтобы площадь листа, отведенную для перспективы, освободить от вспомогательной сетки прямых, плос­кость располагают в стороне от главной точки, как показано на рис 71. Точка F плоскости  является перспективой не­собственных точек горизонтальных пря­мых этой плоскости. (Если бы точка F со­впадала с Р, то плоскость  оказалась бы перпендикулярной картине.)

По плоскости  проведена одна из ее горизонталей NF, все точки которой имеют z = z_A.

Из всех возможных вертикальных от­резков, заключенных между прямыми NF и ₁, необходимо найти тот, который уда­лен от плоскости картины на такое же расстояние, как точка А₁.

Этот отрезок А_1 А_ определяется с по­мощью плоскости , параллельной картине и проходящей через точку А₁. Завершаю­щий этап заключается в построении верти­кального отрезка А₁A =A_1A_.

Аналогичные построения для остальных точек здания выполнены на рис. 71.

В том же случае, когда за пределами чертежа и рабочей площади оказываются обе точки схода (F¹ и F'²), целесообразно при­менять так называемый метод масштабов.

3. Метод масштабов. Сущность метода масштабов излагается на примере постро­ения перспективы точки. Точка А отнесена к прямоугольной системе координат Oxyz, которая расположена так, как показано на рис. 72, т. е. начало координат выбрано на основании картины, координатная плоскость Oxz совмещена с плоскостью картины, а ось Оу направлена перпендику­лярно картине.

Рис. 72 Рис. 73

Ортогональные проекции координатных осей показаны на рис. 73. Там же отмечены координаты точки А (х_а, у_А, z_А), по которым на рис. 74 определяется ее пер­спектива.

Предварительно заметим, что начало координат (рис. 73) выбрано на произ­вольном расстоянии от точки Р₀. Но при построении перспективы системы прямоугольных координат (рис. 74) точка О' должна быть удалена от Р₀ на расстояние, равное длине отрезка О₁ Р₀ (рис. 73).

Оси Ох и Oz изображаются на картине без искажения под прямым углом друг к другу. Перспектива же оси Оу как пря­мой, перпендикулярной картине, должна пройти через главную точку Р, которая, как это было показано ранее, является перспективой бесконечно удаленных точек прямых, перпендикулярных картине. По­строенные в перспективе оси принято на­зывать, ось O'x— масштабом широт, ось О'у'— масштабом глубин и ось O'z'—мас­штабом высот.

Перспективу точки по ее координатам строят в следующем порядке:

1. На масштабе широт (см. рис.74) откладывают абсциссу х_а и проводят

линию А'_хР как перспективу прямой А_хА₁ (см. рис. 73). На этой прямой должна быть вторичная проекция А'₁ точки А.

2. Для того чтобы построить на мас­штабе глубин точку А_у, воспользуемся прямой А_у А_у0 , составляющей с осью Оу, а следовательно, и с картиной угол 45° (см. рис. 73). В самом деле, точкой схода такой прямой является та точка линии горизонта, которая удалена от главной точки Р картины на расстояние, равное главному расстоянию, т.е. рассто­янию точки зрения S от плоскости картины.

Действительно, из прямоугольного и равнобедренного треугольника S₁ P₀ D₁ (см. рис. 73) следует, что горизонталь­ный луч SD, проведенный под углом 45° к плоскости П, пересекает ее в дистанци­онной точке D, которая является точкой схода перспектив горизонтальных прямых, составляющих с плоскостью картины угол 45°. Заметим, что существуют две такие связки, и каждой из них соответствует своя точка схода, расположенная на ли­нии горизонта слева или справа от Р. Началом рассматриваемой прямой А_у А_у0 яв­ляется точка А_у, которую и необходимо нанести на масштабе широт, используя ординату у_А точки А. Соединив точку A_y0 c D, построим перспективу прямой, пересекающей масштаб глубин в точке А'_у.

3. Так как точки А_у и А₁ расположены на одной прямой, параллельной картине ( рис. 73), то вторичная проекция точки А будет расположена на пересече­нии ранее построенной прямой А_хР с пря­мой А_УА₁, которая параллельна основанию картины ( рис. 74).

4. Откладывают на масштабе вы­сот (рис. 74) отрезок, равный z_a — аппликате точки А, и точку А_z соединяют с Р. Вертикальная прямая, проведенная через Ау до пересечения с линией А_z Р, определяет отрезок А_уА_з, перспективно равный координате z_А.

Наконец, остается на вертикальной пря­мой, проходящей через вторичную проек­цию точки А, построить отрезок, равный А_уА₃, что и сделано с помощью горизонта­ли А_зА.

Создание перспективного изображения и при использовании метода масштабов можно вести с определенным увеличением картины, когда все линейные размеры, снимаемые с ортогонального чертежа, уве­личивают в n раз. При этом некоторые точки, например D или А_у0 , могут оказать­ся недоступными. Тогда обращаются за помощью к так называемым дробным точкам дальности, которые на рис. 75 обозначены через D², D³, Dⁿ. Каждая из этих точек расположена на линии гори­зонта и удалена от главной точки Р на расстояние, соответственно равное ^l/₂, ^l/₃ и ^l/_n (l — главное расстояние, n — любое число).

Предположим, что недостаток места за­ставил воспользоваться дробной точкой дальности D². В этом случае на масшта­бе широт откладывают отрезки, длина ко­торых равна уменьшенной вдвое коорди­нате у.

Пересечение прямой 2_oD² и масштаба глубин определяет ту же точку А_у, которая могла быть получена с помощью прямых DA_y0, D³З₀ или DⁿN₀.

Объясняется это пропорциональностью, отрезков, выражаемой следующими равенствами: