6.3 Интегрирующий рекурсивный фильтр.

Реакция рекурсивного фильтра на сигнал с учетом "памяти" исключает возможность создания фильтров с четным импульсным откликом, и частотные характеристики рекурсивных фильтров всегда являются комплексными. Проектирование рекурсивных частотных фильтров с заданными частотными характеристиками осуществляется через z-область.

Синтез рекурсивных фильтров непосредственно в z-области возможен только для фильтров простого типа (режекторных и селективных) с ограниченным количеством полюсов и нулей (особых точек). В общем случае, процесс проектирования рекурсивного частотного фильтра обычно заключается в задании необходимой передаточной характеристики фильтра в частотной области и ее аппроксимации с определенной точностью какой-либо непрерывной передаточной функцией, с последующим z-преобразованием для перехода в z-область. Первые две операции хорошо отработаны в теории аналоговой фильтрации сигналов, что позволяет использовать для проектирования цифровых фильтров большой справочный материал по аналоговым фильтрам. Последняя операция является специфичной для цифровых фильтров.

Для алгебраического преобразования непрерывной передаточной функции в многочлен по z используется билинейное преобразование, известное в теории комплексных переменных под названием дробно-линейного преобразования.

1.12 Структурные схемы цифровых фильтров

Рис. 12.1. Структурные схемы цифровых фильтров.

Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов (цифровых фильтров) представляются в виде структурных схем, базовые элементы которых показаны на рисунке 12.1 вместе с примерами структур- ных схем фильтров. Как правило, структурные схемы соответствуют программной реализа- ции фильтров на ЭВМ, но не определяют аппаратной реализации в специальных радиотехнических устройствах, которая может существенно отличаться от программной реализации.

Соединения фильтров. Различают следующие соединения фильтров.

Рис. 12.3.

1. Последовательное соединение (рис. 12.3). Выходной сигнал предшествующего фильтра является входным для последующего. Эквивалентная передаточная функция общей системы равна произведению передаточных функций фильтров, в нее входящих:

H(z) = H₁(z)×H₂(z)×H_N(z).

Рис. 12.4.

2. Параллельное соединение (рис. 12.4). Сигнал подается на входы всех параллельно соединенных фильтров одновременно, выходные сигналы фильтров суммируются. Эквивалентная передаточная функция общей системы равна сумме передаточных функций фильтров, в нее входящих: H(z) = H₁(z)+H₂(z)+...+H_N(z).

Рис. 12.5.

3. Соединение обратной связи (рис. 12.5). Выходной сигнал первого фильтра подается на выход системы и одновременно на вход фильтра обратной связи, выходной сигнал которого суммируется, со знаком плюс или минус в зависимости от вида связи (отрицательной или положительной), с входным сигналом системы. Эквивалентная передаточная функция системы: H(z) = H₁(z)/(1±H₁(z)H₂(z)).

Схемы реализации фильтров. По принципам структурной реализации фильтров различают следующие схемы:

Рис. 12.6.

1. Прямая форма (рис. 12.6) реализуется непосредственно по разностному уравнению

y_k = b_nx_k-n – a_my_k-m,

или по передаточной функции

H(z) = b_nzⁿ /(1+ a_mz^m).

2. Прямая каноническая форма содержит минимальное число элементов задержки. Передаточную функцию РЦФ можно представить в следующем виде:

H(z) = Y(z)/X(z) = H₁(z)H₂(z),

H₁(z) = V(z)/X(z) = 1/(1+ a_mz^m),

H₂(z) = Y(z)/V(z) = b_nzⁿ.

Отсюда: v(k) = x(k) - a_mv(k-m), (12.1)

y(k) = b_nv(k-n). (12.2)

В разностных уравнениях (12.1-12.2) осуществ- ляется только задержка сигналов v(k).

3. Каскадная (последовательная) форма соответствует представлению передаточной функции в виде произведения:

H(z) = H_i(z).

H_i(z) - составляющие функции вида (1-r_iz)/(1-p_iz) при представлении H(z) в факторизованной форме, где r_i и p_i - нули и полюсы функции H(z). В качестве функций H_i(z) обычно используются передаточные функции биквадратных блоков - фильтров второго порядка:

H_i(z) = (b_0i + b_1i ×z + b_2i ×z²) / (1 + a_1i ×z + a_2i ×z²).

4. Параллельная форма используется много реже, и соответствует представлению передаточной функции в виде суммы биквадратных блоков или более простых функций.