Федеральное агентство по образованию Совет ректоров вузов Томской области Открытая региональная межвузовская олимпиада – 2008
МАТЕМАТИКА
Билет № 608
Упростите выражение
.
(7 баллов)
2. Найти число точек пересечения графиков
функций
и
?
(7 баллов)
3. Пассажир поднимается из метро, стоя на ступеньке движущегося эскалатора, 56 с. Если он идет по движущемуся эскалатору, то поднимается за 42 с. За сколько секунд поднимется пассажир, если он будет двигаться с той же скоростью по неподвижному эскалатору? (10 баллов)
4. Решите неравенство (10 баллов)
5. Решите уравнение
.
(12 баллов)
6. Решите уравнение
.
(12 баллов)
7. Решите неравенство
.
(12 баллов)
8. В боковую грань правильной четырехугольной
пирамиды вписана последовательность
окружностей так, что первая окружность
касается основания и боковых сторон, а
каждая последующая - предыдущей и
боковых сторон. Отношение радиуса
третьей окружности к радиусу четвертой
равно
,
где Ф - положительный корень уравнения
.
В пирамиду также вписана последовательность
сфер так, что первая сфера касается
основания и четырех боковых граней, а
каждая последующая - предыдущей сферы
и четырех боковых граней. Найдите
отношение радиусов третьей и четвертой
сфер.
(15 баллов)
9. Определите, при каких значениях параметра решением неравенства является любое . (15 баллов)
Зам.председателя оргкомитета Олимпиады:___________________________ И.Е.Никулина
Председатель предметного жюри: _________________________ А.А.Михальчук
Федеральное агентство по образованию Совет ректоров вузов Томской области Открытая региональная межвузовская олимпиада – 2008
МАТЕМАТИКА
Билет № 609
Упростите выражение
. (7 баллов)
2. Сколько точек пересечения имеют
графики функций
и
(7 баллов)
3. Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если при сплавке равных по весу частей первого и второго слитков получается слиток, в котором содержится 35% золота? (10 баллов)
4. Решите неравенство 
(10
баллов)
5. Решите уравнение
(12 баллов)
6. Решите уравнение 
(12
баллов)
7. Решите неравенство
(12 баллов)
8. В правильной четырехугольной пирамиде отношение бокового ребра к стороне основания равно , где Ф - положительный корень уравнения . В пирамиду вписана последовательность сфер так, что первая сфера касается основания и четырех боковых граней, а каждая последующая касается предыдущей сферы и четырех боковых граней. Найдите отношение суммы поверхностей всех вписанных сфер к полной поверхности пирамиды. (15 баллов)